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da **PietroBaima** » 24 lug 2018, 13:12

Una volta ottenuta una buona approssimazione del seno se ne ricava immediatamente una altrettanto buona per il coseno.

da **GuidoB** » 24 lug 2018, 23:14

PietroBaima ha scritto:Rifai il grafico dell’errore mettendo pi greco uguale a 3.14

Ecco (la linea blu è l'errore originale, la rossiccia quello calcolato utilizzando 3,14 al posto di $\pi$ ):

: AbsoluteErrorA.png (7.54 KiB) Osservato 3700 volte

PietroBaima ha scritto:Per quanto riguarda la sottrazione al denominatore ti lascio il piacere di scoprilo da solo (se vuoi, altrimenti te lo dico).
Fai così: considera pi greco come una variabile e trova per quali valori di pi greco si annulla il denominatore.

Ho provato, ma non ci sono soluzioni reali (tranne per x = 0

, in cui anche pi varrebbe 0... un valore troppo lontano da $\pi$ ).

Pensandoci un po', credo che il problema sia invece al numeratore (la differenza $\pi - x$ ).
Infatti, usando per $\pi$ il valore approssimato 3,14, quella differenza non viene più uguale a

per $x = \pi$ .

Finché consideriamo l'errore assoluto non abbiamo grossi problemi, ma quando consideriamo l'errore relativo (cioè l'errore assoluto diviso $\sin x$ ), per $x = \pi$ , $\sin x = 0$ .
Ed ecco che abbiamo un valore diverso da

diviso per

... l'errore relativo schizza all'infinito.

È un'interpretazione corretta?

da **GuidoB** » 24 lug 2018, 23:49

Ho provato a eliminare $\pi$ dalle formule cambiando l'unità di misura degli angoli.
Se per esempio uso i gradi sessagesimali al posto dei radianti, la formula approssimata del coseno passa da

$\cos x\approx\frac{\pi^2 - 4 x^2}{\pi^2 + x^2}$
a
$\cos x\approx\frac{180^2 - 4 x^2}{180^2 + x^2}$

eliminando (spero) il problema della precisione di $\pi$ .

Smanettando ho trovato un'altra formula per il coseno, meno elegante ma che dà un errore leggermente minore:

$\cos x\approx\left(\frac{\pi^2 - 4 x^2}{\pi^2}\right)\left(\frac{10 \pi^2 - 9 x^2}{10 \pi^2}\right)$

(le formule per il seno si ottengono traslando

di $-\frac{\pi}{2}$ ).

I due errori a confronto:

: AbsoluteErrorsCompared.png (8.04 KiB) Osservato 3695 volte

Gli errori hanno segni opposti, potrebbe essere interessante fare una combinazione lineare delle due formule...

P.S. Infatti, utilizzando 5/13 e 8/13 come pesi della combinazione lineare (trovati empiricamente), l'errore è abbattuto di altre 20 volte:

: plot 5/13(pi^2-4x^2)/(pi^2+x^2) + 8/13((pi^2-4x^2)/(pi^2))((10pi^2-9x^2)/(10pi^2))-cos(x) from x=-pi/2 to pi/2; AbsoluteError3.png (6.63 KiB) Osservato 3199 volte

da **GuidoB** » 25 lug 2018, 2:04

Come trovare queste approssimazioni? Seno e coseno si prestano bene ad essere approssimati da una parabola.
Per esempio, volendo approssimare il coseno, si può utilizzare la parabola con vertice in $\left(0, 1\right)$ e passante per $\left(\frac{\pi}{2}, 0\right)$ :

: CosineParabolicApproximation.png (6.4 KiB) Osservato 3675 volte

L'errore assoluto rispetto al coseno ha questo grafico:

: CosineParabolicApproximationAbsoluteError.png (7.41 KiB) Osservato 3675 volte

Si vede che l'errore ha due massimi quasi in corrispondenza di $x = \pm\frac{\pi}{3}$ (numericamente in $\pm1,0988...$ , molto vicini a $\pm\frac{\pi}{3}\approx\pm1,0472...$ ).

Giusto in $x = \pm\frac{\pi}{3}$ il coseno ha un valore notevole, pari a $\frac{1}{2}$ .

Che valore ha però la nostra approssimazione, in $x = \pm\frac{\pi}{3}$ ?

Facendo i conti, risulta che vale $\frac{5}{9}$ anziché $\frac{1}{2}$ .

A questo punto potremmo pensare di dividere la nostra funzione approssimante per un'altra funzione correttrice, che corregga il valore sbagliato in $x = \frac{\pi}{3}$ . In questo punto dovrà avere un valore di $\frac{10}{9}$ , infatti $\frac{\frac{5}{9}}{\frac{10}{9}} = \frac{1}{2}$ , che è il valore corretto che vogliamo ottenere.

Potremmo pensare a una funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, magari un'altra parabola, che in x = 0

valga

e in $x = \frac{\pi}{3}$ valga $\frac{10}{9}$ .

L'equazione di questa parabola correttrice è $y = \frac{\pi^2 + x^2}{\pi^2}$ . Dividendo la funzione approssimante per la funzione correttrice otteniamo la funzione approssimante (molto più precisa, con l'errore abbattuto di un fattore 33 circa) di Aryabhata I / Bhaskara I:

$\cos x\approx\frac{\pi^2 - 4 x^2}{\pi^2 + x^2}$

Se invece di cercare una funzione correttrice di secondo grado per cui dividere, ne cerchiamo una per cui moltiplicare (quindi una parabola che in x = 0

valga

e in $x = \frac{\pi}{3}$ valga $\frac{9}{10}$ ), otteniamo invece:

$\cos x\approx\left(\frac{\pi^2 - 4 x^2}{\pi^2}\right)\left(\frac{10 \pi^2 - 9 x^2}{10 \pi^2}\right)$

che si può scrivere anche

$\cos x\approx\frac{\left(\pi^2 - 4 x^2\right)\left(10 \pi^2 - 9 x^2\right)}{10 \pi^4}$ , o anche $\cos x\approx\left[1 - 4\left(\frac{x}{\pi}\right)^2\right]\left[1 - \frac{9}{10}\left(\frac{x}{\pi}\right)^2\right]$

e che abbatte l'errore di un fattore 50 circa, come si vede dal primo grafico nell'intervento precedente.
Nel secondo grafico (relativo alla combinazione lineare delle due approssimazioni) l'errore è abbattuto di un fattore 1000 (circa).
Credo che migliori formule, ma di grado superiore, si possano ottenere col metodo dei polinomi di Newton.

Una condizione alternativa che si potebbe imporre alla funzione parabolica correttrice è che renda la derivata in $x = \frac{\pi}{2}$ della funzione approssimante finale pari a quella del coseno, cioè

. Ho visto però che la funzione correttrice che risulta è praticamente la stessa.
Potrebbe risiedere proprio in questa fortunata quasi-coincidenza nella stessa funzione correttrice dei due effetti di compensare il picco dell'errore e rendere la derivata nell'estremo dell'intervallo pari a quella della funzione da approssimare l'eccezionalità e bontà di questa formula così semplice.

È probabilmente meglio usare le funzioni approssimanti corrispondenti per il seno (ottenibili traslando

di $-\frac{\pi}{2}$ ) e solo nel primo quadrante, per via del problema della precisione di $\pi$ evidenziato da

PietroBaima negli interventi precedenti.

Buonanotte O_/

.

da **venexian** » 25 lug 2018, 8:27

Il calcolo (veloce) approssimato di seno e coseno sono fondamentali per la realizzazione dei controllori nelle macchine utensili CNC. Per motivi legati al loro utilizzo, si preferiscono valori in virgola fissa invece di virgola mobile. Quando ne ho avuto necessità, ho utilizzato le informazioni pubblicate da Jasper Vijn con pieno successo. Per chi fosse interessato, qui c'è anche la trattazione teorica sull'argomento.

http://www.coranac.com/2009/07/sines/

da **Ianero** » 25 lug 2018, 9:26

Thanks

venexian

da **sebago** » 27 lug 2018, 8:20

Caro

Ianero, renditi conto di un paio di cosette:
a) è estate, molla i libri e vai a divertirti;
b) la compagnia che frequenti qui è pericolosa: a parte anche

venexian, che si è aggiunto da poco e anche lui sta fornendo materiale che crea assuefazione, guardati soprattutto da

PietroBaima.
Te lo dico io che sono più grandicello di te, è pericoloso perché i suoi interventi di matematica sono - come dimostra la lunghezza di questo 3D - subdolamente ipnotici (per me vale la massima: inhorresco, in quantum dissimilis ei sum); ti basti sapere che ogni volta aspetto che pubblichi qualcosa, che poi leggo avidamente e alla fine mi accorgo di essere totalmente ignorante e di non averci capito una cippa, e ciononostante aspetto speranzoso che pubblichi qualche altra cosa (che nuovamente ecc. ecc.).
Ergo, almeno ad agosto, ti consiglio vivamente di rivolgere la tua attenzione a birrette (piccole ma tante) e rebotas (poche ma sostanziose).
Stammi bene.