Sviluppo asintotico

[DirtyDeeds]

che ovviamente di rigore ne avrà poco, ma io so farlo solo in questo modo.

Nota che lo sviluppo che ho proposto in [15], quello che ho scritto in [3], quello di PietroBaima e il tuo idraulico, siano lo stesso risultato, solo girato in modi diversi (meno male, ché altrimenti c'era qualcosa che non andava).

Perché una funzione possa essere sviluppata in serie di potenze intorno a un punto deve essere analitica in quel punto, e la funzione arcoseno non è analitica in 1 perché lì c'è quello che viene chiamato un punto di diramazione algebrico (può però essere sviluppata in serie intorno ad altri punti). Ciò che è cambia da una soluzione all'altra è solo il modo che abbiamo utilizzato per eliminare il punto di diramazione: credo che con un po' di pazienza, più che altro nel ritrovare un po' di teoremi sulla moltiplicazione/divisione di serie e nel verificarne le ipotesi, anche la tua soluzione idraulica possa essere giustificata in modo rigoroso In ogni caso, lo sviluppo trovato non è una serie di potenze.

[PietroBaima]

Il problema dei punti di diramazione nel caso di funzioni non certamente analitiche è annoso, e, come cercherò di abbozzare più avanti, spesso genera biforcazioni a insiemi di spazi non finitamente generati formati da basi non finitamente generate.
Lo sviluppo di Taylor ha una base polinomiale infinita, quindi è non finitamente generato, però si "accontenta" della analiticità, quindi genera un unico spazio non finito.
Non è (purtroppo!) il caso dell'arcoseno, quindi lo sviluppo non potrà mai essere una serie di potenze (a meno di non risolvere il problema eliminando il punto problematico come abbiamo fatto nei post precedenti, che non genera una serie di potenze ma una "pseudoserie di potenze").
Per mostrare le (infinite) biforcazioni che fanno passare lo spazio non finitamente generato prima su una retta, poi sul piano, poi nello spazio e poi nei successivi iperspazi è sufficiente affrontare il problema da un punto di vista generale.

Vogliamo studiare l'equazione:



dove

In campo complesso l'equazione è scrivibile, senza troppe paranoie, come



si ha che


da cui:



che origina il sistema:



La seconda equazione suggerisce

oppure


sostituendo y=0 nella prima equazione abbiamo


e quindi l'insieme di soluzioni:

quindi la soluzione è puramente reale, e, con le dovute restrizioni, è quella che ci saremmo trovati in campo reale.

In campo complesso abbiamo anche, tuttavia, anche l'altra soluzione:

che sostituiamo nella prima, ottenendo un risultato interessante:

Se k è pari abbiamo y=0 e quindi ritroviamo la soluzione reale di prima (essendo k pari dobbiamo sostituire k con 2k)
se k è dispari la parte immaginaria del numero complesso (che è un numero reale) non c'è, perché l'equazione



non ammette alcuna soluzione reale.
Quello che possiamo fare è passare quindi ai quaternioni, quindi esprimere la vecchia parte reale e la vecchia parte immaginaria a loro volta con dei numeri complessi.
La parte reale del vecchio complesso diventa quindi e la parte immaginaria complessa va calcolata.
Il problema è quindi trovare



che riscriviamo come



che espandiamo in



che origina il sistema:



Dalla seconda equazione abbiamo le soluzioni:




con x=0 troviamo quindi la soluzione:



con abbiamo lo stesso problema di prima, perché generiamo il problema


e quindi o ci accontentiamo di porre k dispari e quindi torniamo alla soluzione precedente oppure dobbiamo passare agli ottonioni, i quali genereranno una soluzione all'interno degli ottonioni e un'altra per la quale dovremo usare i sedenioni e via così discorrendo.

Quindi:

reali -> 1 soluzione o passare ai complessi
complessi -> 1 soluzione o passare ai quaternioni
quaternioni -> 1 soluzione o passare agli ottonioni
ottonioni -> 1 soluzione o passare ai sedenioni
ecc ecc

Questa è la firma di uno spazio che genera lo spazio a dimensione successiva.
Notare che lo spazio dei polinomi di Taylor è comunque a base non finitamente generata, perché il grado del polinomio può estendersi fino ad infinito, ma su una unica direzione.
Se prendo invece degli spazi generati in questo modo ogni spazio crea una porta per passare ad uno spazio di dimensione successiva e quindi non è possibile alcuno sviluppo di Taylor, nemmeno in campo complesso o successivo. Bisogna accontentarsi della soluzione locale, che è quella che permette una restrizione dello sviluppo interna allo spazio. Non può essere uno sviluppo di Taylor vero e proprio perché per esserlo mancano delle soluzioni (quelle che, in vari modi abbiamo tolto).

Ovviamente questo (si vede dai calcoli) capita solo in un punto di diramazione algebrica e fa completamente naufragare le nostre aspettative di ricerca di uno sviluppo di Taylor completo.

Ciao,
Pietro.

[RenzoDF]

Oggi sull'argomento ho trovato questo pdf

www.math.unipd.it/~maraston/Analisi1/An ... 140111.pdf‎