[Algebra lineare] Indipendenza lineare.

[clavicordo]

Interessante, perché tante volte anch'io mi sono rotto la testa in problemi simili. Uno intuisce la situazione ma poi non è in grado di raggiungere una comprensione totale perché "manca qualcosa". Ma non basta. Oltre a mancargli qualcosa, uno non sa nemmeno descrivere questo qualcosa. A volte è solo questione di capacità di decodifica. Ricordo il prof di elettronica 2 che, se uno non aveva capito una cosa, diceva "allora provo a dirla in modo diverso" e 9 volte su 10 l'altro capiva. Oppure, è come quando, ascoltando l'esposizione di un argomento, dico all'"espositore": "non ho capito" e l'espositore di rimando: "cosa non ha capito"? Ma, brutto scemo, se io sapessi cosa non ho capito, avrei già capito qualcosa! Se fossi in grado di formulare una domanda, significa che sarei in grado di circoscrivere una parte dell'argomento, riducendo quindi il campo di ricerca, i gradi di libertà. Già, nel mio ultimo articolo (che pochi devono aver letto, tanto sarà sembrato astruso) accennavo ai gradi di libertà. Un meccanico sa bene cosa sono. Un treno ha un solo grado di libertà (a parte gli scambi), un'automobile, ne ha due, un aereo ne ha tre... Sì, i vettori linearmente indipendenti possono rappresentare i gradi di libertà, o le "dimensioni". Quelli linearmente dipendenti sono ricavabili come "combinazione" di quelli indipendenti, come i composti chimici, o le ricette di cucina, o i numeri nel sistema posizionale. Gli assi cartesiani sono associabili a vettori linearmente indipendenti, che noi rappresentiamo come tra loro perpendicolari e così facciamo le "proiezioni ortogonali". Ma mica è detto che gli assi formare angoli retti per essere indipendenti! Potrebbero formare angoli qualsiasi ed essere indipendenti, basta che io lo definisca. Ossia devo sempre definire il contesto, la struttura di base. Definizione che spesso è implicita e uno tende a darla per scontata; ma scontata non è, e a volte, trascurandola, si possono compiere errori fatali. Ecco allora che il formalismo matematico rigoroso ci preserva da questo tipo di errori. Poiché, se uno è sano di mente (e pare che, nonostante le apparenze, la percentuale dei sani di mente sia superiore al 95%) possiede una logica "oggettiva", ossia "sicuramente" condivisa, la matematica lo porta alla agognata situazione di "non poter sbagliare". E scusate se è poco...

[DirtyDeeds]

Potrebbero formare angoli qualsiasi ed essere indipendenti, basta che io lo definisca.

Bisogna fare attenzione a non mettere (troppo) insieme indipendenza lineare e ortogonalità, perché per l'indipendenza lineare è sufficiente la struttura di spazio vettoriale, mentre per l'ortogonalità è necessaria una struttura aggiuntiva, quella del prodotto interno. E l'ortogonalità, per un prodotto interno generico, non garantisce l'indipendenza lineare.

Un esempio è dato dallo spazio-tempo di Minkowski, dove due vettori nulli (lunghezza zero) ma diversi da zero sono ortogonali se e solo se sono paralleli, cioè linearmente dipendenti.

[clavicordo]

Ecco appunto come il rigore è l'unica cosa che ci salva da errori, per esempio da generalizzazioni troppo facili come le mie!

[TardoFreak]

... Uno intuisce la situazione ma poi non è in grado di raggiungere una comprensione totale perché "manca qualcosa".

E' evidente che manca una spiegazione, un passaggio logico.
E purtroppo molti passaggi non si trovano, sono dati per scontati e francamente non riesco a capirne il motivo.
Non capisco perché i matematici invece di scrivere un libro di matematica di 300 pagine (nel solito modo) non ne scrivno uno di 1200 spendendo del tempo e parole per spiegare bene gli argomenti ed i concetti.
Leggere i libri di matematica è come leggere le istanze degli avvocati ed i dispositivi dei giudici, o le disposizioni e regolamenti dei burocrati.
Questi ultimi utilizzano questo tipo di linguaggio (e non sono io, cretino qualsiasi, a dirlo) per essere incomprensibili. Lo fanno intenzionalmente affinché ci sia questa "casta" di persone del mestiere che sono solo loro in grado di decifrarne i significati. Se non fai parte di questo gruppo non puoi capire.
E non mi vengano a dire balle come "questo è il linguaggio della matematica, si può scrivere e spiegare solo così" perché non è vero.
E per dimostralo porto un controesempio: il libro di matematica discreta di Rosen. Si è preso la briga di scrivere qualche riga in più per approfondire, per spiegare bene, per rendere comprensibili certi concetti.
Guarda caso è quasi 1071 pagine, contro le 457 del Frattini (libro di mxrda, utile quanto un secchiello senza il fondo, soldi buttati nel cesso).

[boiler]

E purtroppo molti passaggi non si trovano, sono dati per scontati e francamente non riesco a capirne il motivo.

Lezione di Analisi 2, circa 300 studenti in auditorio.
Il professore, un'autorità nel suo campo, riempie una lavagna dietro l'altra. Non ricordo il tema, ma nulla di proprio leggero.

Ad un certo punto, l'eroe tra gli studenti, quello che tutti ammirano, osa chiedere come accidenti passa da A a B.

Il professore si gira, lo guarda irritato, come per dire "Ma che domanda scema!" e risponde "Le metriche sono sempre positive, l'abbiamo visto, no?"
Poi va avanti.

Un paio d'ore dopo chiediamo lumi all'assistente, che partendo dal fatto che le metriche sono positive ci spiega il passaggio da A a B, in sole 3 paginate

Boiler

[TardoFreak]

Di male in peggio!

Non penso ci sia da gioire di questo. Io lo trovo invece preoccupante.

[boiler]

Non penso ci sia da gioire di questo.

Certo che no!

Ma cosa vuoi farci nelle vesti di studente?

L'ateneo si cerca i professori soprattutto in base al loro lavoro di ricerca, la didattica viene spesso relegata in secondo piano. Poi ci sono piacevolissime eccezioni: i professori che ho avuto ad Algebra Lineare, a Topologia, ad Architettura dei Sistemi Paralleli e a VLSI erano persone bravissime sia da un punto di vista scientifico che didattico!

Boiler

[clavicordo]

Quello di rendersi incomprensibili è un vezzo dei prof italiani, francesi e temo anche tedeschi. Gli anglosassoni non lo fanno, specialmente gli americani. Basta leggere i loro testi. Certo, in inglese (meglio evitare le traduzioni, che spesso sono mal fatte), ma spesso il loro inglese è facile, scorrevole.

[DarwinNE]

Quello di rendersi incomprensibili è un vezzo dei prof italiani, francesi e temo anche tedeschi.

Nous venons de démontrer la relation suivante:



Par conséquence, avec quelques passages algébriques élémentaires que nous n'allons pas détailler ici, il est aisé de voir que:




scusate, non ho resistito

La matematica è un linguaggio molto compatto. A qualcuno piace, io delle formule non capisco un granché, di solito In Francia si sente ancora l'influenza di Bourbaki...

[boiler]

Nous venons de démontrer la relation suivante:

J'aimereias bien voir cette démonstration

Boiler