Dimostrare che un insieme è finito

[DirtyDeeds]

Quando ho assunto che sia finito?

Tu sei partito dicendo:

Basta supporre che per assurdo sia infinito (nel senso di Dedekind) e far vedere che allora anche lo è

Qui assumi che sia infinito, ma da questa assunzione non dimostri che è infinito.

Poiché un insieme con un solo elemento è finito, allora nessun è infinito.

Qui assumi la definizione di finitezza 2) data in [12].

Prima però possiamo finire di parlare di questo esercizio particolare?

No, perché è un esercizio lungo e io ho poco tempo e dovrei farti troppe osservazioni. Scusa la franchezza, ma il tuo modo di scrivere di matematica è ancora troppo acerbo per poterti cimentare con dimostrazioni lunghe, per questo ti ho detto di partire dagli esercizi più semplici, in modo che io riesca a starti dietro con un impegno di tempo ragionevole e tu riesca a raffinare il discorso logico.

[Ianero]

Qui assumi che En sia infinito, ma da questa assunzione non dimostri che E_{n-1} è infinito.

Sì certo, non ho postato la dimostrazione di questo punto, ma quello che volevo dire è che si può seguire una strada logica come quella descritta o sbaglio?

Ovvero: Supporre che sia infinito -> far vedere che allora lo è anch'esso -> arrivare all'assurdo che allora anche l'insieme di un solo elemento è infinito, ma dimostrare che quest'ultimo è finito secondo Dedekind.

Mi sembra più naturale di quella che ho provato io in [12], o c'è qualche errore logico?

No, perché è un esercizio lungo e io ho poco tempo e dovrei farti troppe osservazioni. Scusa la franchezza, ma il tuo modo di scrivere di matematica è ancora troppo acerbo per poterti cimentare con dimostrazioni lunghe, per questo ti ho detto di partire dagli esercizi più semplici, in modo che io riesca a starti dietro con un impegno di tempo ragionevole e tu riesca a raffinare il discorso logico.

Va bene, grazie.
Poi prendo qualche esercizio dal libro ancora precedente a questo che credo di aver già saputo risolvere e apro un'altra discussione per chiedere conferma.

Grazie ancora.

[AjeieBrazov]

1) Un insieme è finito secondo Dedekind se non è possibile mapparlo biunivocamente in un suo sottoinsieme proprio
2) Un insieme è finito se è mappabile biunivocamente con un per qualche n.

Non so cosa intendi per "mappare" ma so che un insieme è infinito se è equipollente ad un suo insieme proprio, cioè se esiste una funzione iniettiva ma non suriettiva, oppure suriettiva ma non iniettiva.
In un insieme finito questo non capita.
Ad esempio è un insieme infinito perché la funzione successore definita come è, secondo gli assiomi di Peano, iniettiva ma non suriettiva.

Quello che riporti tu sembra il sistema che si utilizza per "contare" gli elementi di un insieme.

[DirtyDeeds]

Poi prendo qualche esercizio dal libro ancora precedente a questo che credo di aver già saputo risolvere e apro un'altra discussione per chiedere conferma.

L'importante è che siano esercizi di teoria degli insiemi. Se vuoi ti indico qualcuno di quelli dello Zorich del capitolo precedente che sarei curioso di vedere come risolvi.

[AjeieBrazov]

C'è anche il Facchini che ha parecchi esercizi, anche risolti, anche se non mi piace particolarmente.

[Ianero]

Se vuoi ti indico qualcuno di quelli dello Zorich del capitolo precedente che sarei curioso di vedere come risolvi.

Certo, grazie.

[PietroBaima]

...molti laureati avrebbero avuto difficoltà a risolverlo, e lì ci si aspettava che fosse risolto da studenti alla fine delle superiori...

Se vuoi capire a fondo cosa dice DD, guardati per esempio qualche esercizio dell'eserciziario del Demidovic, edizioni MIR. Prendine pure qualcuno completamente a caso.
Sono esercizi per i ragazzi delle superiori: quindi Demidovic, nella prefazione, dice che si limita a esercizi semplici.

Però procurarti un crick per rimettere a posto la mascella, per dopo.

Se vuoi, questa è l'edizione inglese di un libro per ragazzi dai 12 anni in poi di matematica, russo.

nella prefazione:

Our book collects math problems that covers a wide range of
different topics devoted to solving math problems with real life
applications for students aged 12 years and older.

Nel capitolo: "matematica per la fisica", come esempio a caso:

[marco76]

Del Demidovic diceva il mio professore di analisi che lui stesso non sapeva risolvere tutti gli esercizi

[Ianero]

uno è un libro di analisi, l'altro un libro di teoria degli insiemi

Su questa frase mi è venuta una curiosità.
Qual è la differenza sostanziale tra "analisi" e "teoria degli insiemi" ?

[AjeieBrazov]

Non vorrei dire fesserie ma la teoria degli insiemi è il fondamento della matematica sia nel discreto che nel continuo, è l'algebra.
Mi pare sia stato Cantor a teorizzarla nel modo in cui la conosciamo, anche se quella carogna di Russel si è subito attivato per trovarci dei paradossi.
Con la teoria degli insiemi costruisci tutto quello che serve per la matematica del continuo.