ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Ianero** » 26 set 2017, 16:44

DirtyDeeds ha scritto:
Ianero ha scritto: i polinomi di grado superiore sono sempre $\succ$ di quelli di grado inferiore.

Mi pare di aver detto una cosa non vera peró ora che ci ripenso ancora.
Il coefficiente del monomio di massimo grado può anche essere negativo..
Esempio:

-2x^2

e

Non è vero che il primo è $\succ$ del secondo, perché non è vero che -2>0

.
O sbaglio?

DirtyDeeds ha scritto:
Ianero ha scritto:Inoltre per due polinomi dello stesso grado si dovrebbe allora stabilire chi è $\succ$ di chi, con questo criterio:

Non serve scriverla in forma così estesa: basta dire che sull'insieme dei polinomi introduci una relazione $\succ$ definita da $P(x)\succ Q(x)\Leftrightarrow P(x)-Q(x)\succ 0$ , verificando che sia una relazione d'ordine.

Continuo a non capire bene, perdonami.

La relazione d'ordine $\succ$ è già definita, non devo definirla io di nuovo.
Per poter dire che $P(x)\succ Q(x)\Leftrightarrow P(x)-Q(x)\succ 0$ non serve proprio quell'assioma lì?
Perché in realtà sto sommando a entrambi i membri -Q(x)

senza modificare l'ordine.

da **Ianero** » 26 set 2017, 20:09

DirtyDeeds ha scritto:Infine, guardando la forma estesa: ti ricorda qualcosa?

No, a parte la stessa relazione d'ordine che si può definire su $\mathbb{Q}[\sqrt{n}]$ :roll:

Però ci penso ancora, magari mi viene in mente qualcosa...

AjeleBrazov ha scritto:Coefficienti binomiali (triangolo di Pascal)?

Nel caso avessi ragione, continuo a non vedere cosa c'entrino con la forma estesa dell'ordinamento prima definito :mrgreen:

da **AjeieBrazov** » 26 set 2017, 20:56

Non ne ho idea, semplicemente mi ricorda quello. :mrgreen:

da **DirtyDeeds** » 26 set 2017, 23:50

Ianero ha scritto:Non è vero che il primo è $\succ$ del secondo, perché non è vero che .
O sbaglio?

Non sbagli :ok:

Ianero ha scritto:La relazione d'ordine $\succ$ è già definita, non devo definirla io di nuovo.

E no! La relazione originale ordina i polinomi solo rispetto a 0, ma è una relazione d'ordine parziale, non totale. Tu devi estenderla a ogni coppia di polinomi, in modo da renderla totale e compatibile con la relazione parziale. E l'estensione la fai proprio attraverso la definizione $P(x)\succ Q(x)\Leftrightarrow P(x)-Q(x)\succ 0$ .

Non finirò mai di ripeterlo: visto quante sottigliezze ci sono in esercizi apparentemente elementari?

Per la domanda che vi ho fatto in [29], pensate a come valutate l'ordine nei numeri in rappresentazione decimale: non fate proprio così? ;-)

PS: sarò via un po' di giorni, risponderò di nuovo la prossima settimana.

da **AjeieBrazov** » 27 set 2017, 0:02

E' vero!

da **Ianero** » 27 set 2017, 7:40

Ah ecco, bisogna estendere la relazione, grazie mille!

Allora alla prossima settimana :-)

Troverai sicuramente qualche nuovo esercizio pronto ad aspettare tuoi chiarimenti :mrgreen:

Buon lavoro e grazie ancora O_/

da **Ianero** » 30 set 2017, 9:50

Per quando torni...

DirtyDeeds ha scritto:Non serve scriverla in forma così estesa: basta dire che sull'insieme dei polinomi introduci una relazione $\succ$ definita da $P(x)\succ Q(x)\Leftrightarrow P(x)-Q(x)\succ 0$ , verificando che sia una relazione d'ordine.

Se abbiamo detto che per noi $P(x)=a_0+a_1x+...a_mx^m\succ 0 \Leftrightarrow a_m>0$ , allora la relazione definita come $P(x)\succ Q(x)\Leftrightarrow P(x)-Q(x)\succ 0$ non può essere una relazione d'ordine neanche parziale, poiché non è riflessiva.
Dico bene?

Uso come relazione d'ordine il negato di [28].
La relazione che faccio vedere che è una relazione d'ordine (e anche totale) è allora questa qui:

$P(x)\preceq Q(x) := \neg\left ( P(x)-Q(x)\succ 0 \right )$

ovvero:

$P(x)\preceq Q(x) := \Biggl( a_m \leq b_m\Biggr) \wedge \Biggl( (a_m \neq b_m) \vee (a_{m-1} \leq b_{m-1})\Biggr) \wedge$
$\wedge \Biggl( (a_m \neq b_m) \vee (a_{m-1}\neq b_{m-1}) \vee (a_{m-2}\leq b_{m-2}) \Biggr) \wedge ...$

con:

P(x)=a_0+a_1x+...+a_mx^m

dove la comodità di averla definita in forma estesa sta nel fatto che i coefficienti di grado massimo possono essere anche nulli.
A questo punto dimostrare che è una relazione d'ordine (e anche completa) è un semplice esercizio di applicazione delle proprietà di $\wedge$ e $\vee$ .
Non sono invece riuscito a dimostrare che è una relazione d'ordine lasciando la definizione iniziale non estesa. In quel caso infatti bisogna fare (soprattutto per la transitività) un enorme numero di casistiche su chi ha il coefficiente di grado massimo non nullo.

Inoltre anche la definizione estesa (ovviamente) rispetta la condizione imposta dalla traccia, e cioè che $P(x)\succ 0 \Leftarrow a_m>0$ , basta infatti porre Q(x)=0

e negare.

C'era un modo più semplice di farlo?

da **DirtyDeeds** » 5 ott 2017, 22:31

Ianero ha scritto:Se abbiamo detto che per noi $P(x)=a_0+a_1x+...a_mx^m\succ 0 \Leftrightarrow a_m>0$ , allora la relazione definita come $P(x)\succ Q(x)\Leftrightarrow P(x)-Q(x)\succ 0$ non può essere una relazione d'ordine neanche parziale, poiché non è riflessiva.
Dico bene?

Dici male

Alcuni autori definiscono le relazioni d'ordine come riflessive, alcuni come irriflessive. La relazione $\geq$ sui reali è riflessiva, la relazione

è irriflessiva. Sono entrambe relazioni d'ordine, la seconda stretta. Nel caso del tuo esercizio il fatto che debba essere irriflessiva è implicito nella definizione iniziale di strettamente maggiore di 0.

Quindi, in questo caso, devi solo verificare due proprietà: la transitività e l'irriflessività, e cioè che non valga P(x)>P(x)

per qualunque P(x)

.

da **Ianero** » 6 ott 2017, 8:01

Questo Zorich non l'aveva mai detto :evil:

Comunque si è molto ragionevole e anche comodo.

Perché non sono comunque 3 proprietà, ma invece 2?

A me sembrerebbe più normale se si ridefinisse come relazione d'ordine una relazione con queste proprietà:

1) Irriflessività
2) Transitività
3) $aRb \Rightarrow$ b non in relazione con a.

La 3 in altre parole serve a dire nel nostro esempio che due polinomi non possono essere uno maggiore stretto dell'altro contemporaneamente.
Stessa cosa deve valere se definissi la relazione d'ordine sui reali: due numeri non possono essere contemporaneamente uno maggiore dell'altro.

Poi per vedere se è totale bisognerebbe aggiungere una condizione extra scritta in questo modo:

4) $a \neq b \Rightarrow aRb \vee bRa$

Sbaglio ancora?

Ps: grazie e bentornato

da **Ianero** » 9 ott 2017, 19:07

Ad ogni modo posto il mio tentativo di soluzione (che non usa stavolta la forma espansa), non sono riuscito a farla più breve di così.

$P(x)=a_0+a_1x+...a_nx^n \succ 0 \Leftrightarrow a_n>0$

Allora definisco la seguente relazione:

$P(x) \succ Q(x) \Leftrightarrow P(x)-Q(x) \succ 0 \Leftrightarrow a_{\max \left \{ n,m \right \}} > b_{\max \left \{ n,m \right \}}$

dove ovviamente:

P(x)=a_0+a_1x+...+a_nx^n

1) Irrifilessività: a_n

non è maggiore di sé stesso;
2) Anti-simmetria stretta (non so come chiamarla meglio): $P(x) \succ Q(x) \Leftrightarrow a_{\max \left \{ n,m \right \}} > b_{\max \left \{ n,m \right \}}$ , allora non può essere anche che $b_{\max \left \{ n,m \right \}} > a_{\max \left \{ n,m \right \}}$ , ovvero che $Q(x) \succ P(x)$ ;
3) Transitività: per ipotesi si ha che $P(x) \succ Q(x)$ e $Q(x) \succ R(x) = c_0+c_1x+...+c_rx^r$ , allora...

$n>m>r \Rightarrow a_n>0=c_r$

$n>m=r \Rightarrow a_n>0=c_r$

$(n>m)\wedge (m<r) \Rightarrow a_n>0>c_r$

$n=m>r \Rightarrow a_n>b_n>0=c_n$

$n=m=r \Rightarrow a_n>b_n>c_n$

$n=m<r \Rightarrow a_r=0>c_r$

$(n<m) \wedge (m>r) \Rightarrow 0>b_m>0 \Rightarrow \text{assurdo}$ (questa situazione, date le ipotesi, non si può presentare)

$n<m=r \Rightarrow a_m=0>b_m>c_m$

$n<m<r \Rightarrow a_r=b_r=0>c_r$

Infine posso dimostrare...

4) Totalità:

$P(x) \neq Q(x) \Rightarrow \Biggl( a_{\max \left \{ n,m \right \}} > b_{\max \left \{ n,m \right \}} \Biggr) \vee$
$\vee \Biggl( a_{\max \left \{ n,m \right \}} < b_{\max \left \{ n,m \right \}} \Biggr) \vee \Biggl( a_{\max \left \{ n,m \right \}} = b_{\max \left \{ n,m \right \}} \Biggr)$

nell'ultimo caso bisogna andare a ritroso con i coefficienti fino a che non se ne trovano due diversi (e ci si arriva sicuramente poiché l'ipotesi è $P(x) \neq Q(x)$ ) e si stabilisce chi è maggiore di chi.

Si poteva fare meglio?

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Affinare il linguaggio

[31] Re: Affinare il linguaggio

[32] Re: Affinare il linguaggio

[33] Re: Affinare il linguaggio

[34] Re: Affinare il linguaggio

[35] Re: Affinare il linguaggio

[36] Re: Affinare il linguaggio

[37] Re: Affinare il linguaggio

[38] Re: Affinare il linguaggio

[39] Re: Affinare il linguaggio

[40] Re: Affinare il linguaggio

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits