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da **DirtyDeeds** » 9 ott 2017, 21:43

Ianero ha scritto:Si poteva fare meglio?

Sì

Ianero ha scritto:Allora definisco la seguente relazione:
$P(x) \succ Q(x) \Leftrightarrow P(x)-Q(x) \succ 0 \Leftrightarrow a_{\max \left \{ n,m \right \}} > b_{\max \left \{ n,m \right \}}$

L'ultimo pezzo non serve. Definisci

$P(x) \succ Q(x) \Leftrightarrow P(x)-Q(x) \succ 0$

Poi

1) Ok
2) Non serve
3) Transitività

Sia $P(x) \succ Q(x)$ e $Q(x) \succ R(x)$ . Si ha

P(x)-R(x) = P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x)

Ma per ipotesi $P(x) - Q(x)\succ 0$ e $Q(x) - R(x)\succ 0$ e i due coefficienti di ordine massimo di P(x)-Q(x)

e

saranno positivi. Di conseguenza, se le due differenze P(x)-Q(x)

e

sono dello stesso ordine, anche la somma P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x)

avrà coefficiente di ordine massimo positivo. Viceversa, se le due differenze sono di ordine diverso, la somma P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x)

avrà il coefficiente di ordine maggiore uguale a quello della differenza di ordine maggiore, che è positivo. In entrambi i casi, quindi, $P(x)-R(x) = P(x)-Q(x) + Q(x)-R(x)\succ 0$ e $P(x)\succ R(x)$ .

4) La totalità è immediata perché se $P(x) \neq Q(x)$ la differenza P(x) - Q(x)

non è nulla.

da **Ianero** » 9 ott 2017, 21:50

DirtyDeeds ha scritto:Sì

Leggendo le tue soluzioni mi sento un idiota :^o

2) Non serve

Non capisco il motivo..

Grazie!

da **DirtyDeeds** » 9 ott 2017, 21:56

Ianero ha scritto:Non capisco il motivo..

Perché se valessero contemporaneamente $P(x)\succ Q(x)$ e $Q(x)\succ P(x)$ , allora per la transitività si avrebbe $P(x)\succ P(x)$ , ma questo è già escluso dall'irriflessività.

da **Ianero** » 9 ott 2017, 22:04

Thanks

da **Ianero** » 9 ott 2017, 22:45

A 'sto punto seguendo le tue orme diventa facile anche dimostrare il successivo (che per come lo facevo io era un incubo), ossia ordinare l'insieme:

$R\left( x \right)=\frac{a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}}{b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m}}$

in modo tale che risulti $R(x) \succ 0 \Leftrightarrow a_nb_m>0$ .

Definisco la relazione: $R_1(x) \succ R_2(x) \Leftrightarrow R_1(x)-R_2(x) \succ 0$ .

1) Irriflessività: a_nb_m

non è maggiore di sé stesso.
2) Transitività: se $R_1(x) \succ R_2(x)$ e $R_2(x) \succ R_3(x)$ , allora R_1(x)-R_3(x)=R_1(x)-R_2(x)+R_2(x)-R_3(x)=Q_1(x)+Q_2(x)

dove $Q_1(x)=R_1(x)-R_2(x) \succ 0$ e $Q_2(x)=R_2(x)-R_3(x) \succ 0$ .

Scrivo a questo punto $Q_{1}\left( x \right)=\frac{N_{1}\left( x \right)}{D_{1}\left( x \right)}$ e analogamente $Q_{2}\left( x \right)=\frac{N_{2}\left( x \right)}{D_{2}\left( x \right)}$ , dove N_1(x)

è un polinomio di grado n_1

,

di grado

,

di grado

e

di grado

.
Allora ho che $Q_1(x) \succ 0 \Rightarrow a_{n_1}b_{m_1}>0$ e $Q_2(x) \succ 0 \Rightarrow a_{n_2}b_{m_2}>0$

Quindi:

$R_1(x)-R_3(x)=Q_1(x)+Q_2(x)=\frac{ \overbrace{N_1(x)D_2(x)}^{ \text{grado} \; n_1+m_2} +\overbrace{N_2(x)D_1(x)}^{ \text{grado} \; n_2+m_1} }{ \underbrace{D_{1}( x )D_{2}( x )}_{ \text{grado} \; m_1+m_2} }$

I casi sono 3:

$n_1+m_2=n_2+m_1 \Rightarrow Q_{1}\left( x \right)+Q_{2}\left( x \right)=\frac{...+\left( a_{n_{1}}b_{m_{2}}+a_{n_{2}}b_{m_{1}} \right)x^{n_{1}+m_{2}}}{...+\left( b_{m_{1}}b_{m_{2}} \right)x^{m_{1}+m_{2}}} \succ 0$ poiché $a_{n_{1}}b_{m_{1}}b_{m_{2}}^{2}+a_{n_{2}}b_{m_{2}}b_{m_{1}}^{2}>0$ ;

$n_1+m_2>n_2+m_1 \Rightarrow Q_{1}\left( x \right)+Q_{2}\left( x \right) \succ 0$ poiché $a_{n_{1}}b_{m_{1}}b_{m_{2}}^{2}>0$ ;

$n_1+m_2<n_2+m_1 \Rightarrow Q_{1}\left( x \right)+Q_{2}\left( x \right) \succ 0$ poiché $a_{n_{2}}b_{m_{2}}b_{m_{1}}^{2}>0$ ;

3) Totalità: come prima, la differenza tra due polinomi fratti è non nulla se per ipotesi i due polinomi fratti sono diversi.

E' giusto?

da **DirtyDeeds** » 14 ott 2017, 9:27

Non ho ancora avuto tempo di leggere bene l'ultimo messaggio, ma a proposito di affinare il linguaggio, consiglio la lettura di questo articoletto di Terry Tao, un matematico piuttosto famoso vincitore della Fields Medal.

da **PietroBaima** » 14 ott 2017, 10:05

DirtyDeeds ha scritto:Terry Tao, un matematico piuttosto famoso

piuttosto? :shock:

da **DirtyDeeds** » 14 ott 2017, 10:26

Dici che non lo sia? :-P

da **PietroBaima** » 14 ott 2017, 10:28

Piuttosto? No, direi di no...

da **Ianero** » 14 ott 2017, 14:20

Grazie del link, dopo lo leggo :)

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