Autovalori e autovettori

[clavicordo]

autovelori e autovettori possono anche essere definiti per spazi non dotati di prodotto interno.

ma se uno spazio ha il prodotto interno definito allora gli autovettori sono sempre ortogonali?

[DirtyDeeds]

Come faccio ad essere sicuro che autovettori provenienti ad esempio da 2 autovalori differenti, uno di molteplicità e uno di molteplicità (tali che ) sono sempre linearmente indipendenti?

Il fatto che autovettori corrispondenti ad autovalori diversi siano linearmente indipendenti è un teorema standard la cui dimostrazione si trova in qualunque libro di algebra lineare. Qui lascio a te la ricerca

ma se uno spazio ha il prodotto interno definito allora gli autovettori sono sempre ortogonali?

Qui non mi ricordavo bene come stavano le cose e sono dovuto andare a riaprire un libro di algebra lineare. La risposta è no: il fatto che su un certo spazio vettoriale sia definito un prodotto interno, non è sufficiente a garantire l'ortogonalità degli autovettori corrispondenti ad autovalori distinti. Una classe di operatori per cui questa proprietà è verificata è quella degli operatori normali, cioè degli operatori che commutano con il proprio autoaggiunto: . Questo vale per spazi a dimensione finita, non so se il teorema continua a valere anche per spazi di dimensione infinita.

Il testo che sono andato a consultare è

S. Roman, Advanced Linear Algebra, 3 ed., Springer, 2008.

[DarwinNE]

Allora prima ho detto una cretinata

Ritiro tutto! Molto interessante, comunque. In effetti, gli operatori autoaggiunti si trovano spesso in fisica.

[DirtyDeeds]

In effetti, gli operatori autoaggiunti si trovano spesso in fisica.

Vero, però attenzione che l'essere normale è una condizione più debole di quella dell'essere autoaggiunto o unitario: un operatore autoaggiunto è normale, ma il viceversa in generale non vale.