ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **DirtyDeeds** » 17 ago 2015, 17:39

obiuan ha scritto:Secondo me quindi la radice in aveva senso definendola come:
"La radice n-esima in campo complesso è una funzione matematica che ad ogni numero in $\mathbb{C}$ associa la soluzione per k=0 dell'equazione ."

Come avevo scritto in [24], la relazione $R = \{(z,w)\in\mathbb{C}^2|w^n-z=0\}$ può essere ristretta a una funzione su $\mathbb{C}$ , ma ci sono infiniti modi per farlo e nessuno è privilegiato rispetto agli altri: ciò che importa è che ciascuna possibile restrizione mappa il piano complesso in un settore di apertura $2\pi/n$ . La tua proposta è solo quindi una delle infinite possibili restrizioni (p.es. perché nella radice quadrata dovremmo preferire la restrizione che ha come immagine il semipiano $\text{Re}\,w\ge 0$ a quella che ha come immagine $\text{Im}\,w\ge 0$ ?).

Ma il punto è che in $\mathbb{C}$ nessuna restrizione gode della bella proprietà che la radice ha in campo reale, ovvero che per $x,y\in\mathbb{R}; x,y\ge 0$ , $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ .

da **PietroBaima** » 18 ago 2015, 0:20

DirtyDeeds ha risposto perfettamente (solita ovvietà

) e quindi non aggiungo altro.

Faccio solo una piccola correzione a questo:

obiuan ha scritto: $z^n = w = |w|e^{i\omega}$

Ha ovviamente n soluzioni, rappresentate dall'equazione:

$z =|w|e^{i\frac{\omega + 2k\pi} {n}}$ con k= 0... (n-1)