ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **sedetiam** » 25 giu 2014, 9:47

Un modo carino di risolvere il limite, senza scomodare Stirling, può essere il seguente:

$a_{n}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\frac{2n}{2n+1}\cdot \frac{2n-2}{2n-1}\cdot ...\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}$

consideriamo ora la successione $b_{n}$ formata dal prodotti dei termini “puntualmente adiacenti” a quelli di $a_{n}$

${ b_{n}=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot ...\cdot \frac{2n+1}{2n+2}}$

Per $n\geq 1$ si ha che

$a_{n}< b_{n}$ e

$a_{n}{ b_{n}}=\frac{2}{3}\cdot {\frac{3}{4}}\cdot \frac{4}{5}\cdot {\frac{5}{6}}\cdot ...\cdot \frac{2n}{2n+1}\cdot {\frac{2n+1}{2n+2}}$

come si può vedere, i termini si elidono e rimane:

$a_{n}b_{n}=\frac{2}{2n+2}=\frac{1}{n+1}$

abbiamo poi che

$a_{n}^{2}=a_{n}\cdot a_{n}< a_{n}\cdot b_{n}=\frac{1}{n+1}$

e cioè che

$0< a_{n}< \frac{1}{\sqrt{n+1}}$

che per n che tende a infinito dà proprio zero.

da **PietroBaima** » 25 giu 2014, 9:49

molto interessante.

da **EcoTan** » 25 giu 2014, 10:54

Ecco la mia simulazione numerica (floating in doppia precisione) col QuickBasic:
per n=400000, l'elemento della prima serie vale 0,001401 (abbastanza vicino a zero?) mentre l'elemento della seconda serie quella con radice di n vale 0,8862260(9) (può tornare?)

Codice: Seleziona tutto: REM n, numeratore, denominatore, produttoria REM stampa la successione con passo diecimila CLS : n = 1 num = 2: den = 3 produt# = num / den PRINT n, produt# succes: IF (n - n0 > 9999) THEN PRINT n, produt#, produt# * SQR(n) n0 = n END IF n = n + 1 num = num + 2: den = den + 2 produt# = produt# * num / den IF n < 410000 GOTO succes

PostScriptum Ho letto la soluzione fornita da sedetiam e non trovo errori, mi pare eccellente. Ho confrontato la formula finale con l'elemento 400000 da me calcolato, e ci sta dentro.

da **DanteCpp** » 25 giu 2014, 17:46

Ho beccato il baco, però ora mi trovo in un vicolo cieco...

L'ultima identità a cui sono arrivato è:

$\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\frac{2^n n!}{4n^2-1}$

PS,

sedetiam molto bella!

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