ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Ianero** » 5 set 2013, 14:55

$settsinh(x)=arcsinh(x)= \ln [x+\sqrt(1+x^2)]$

La quale deriva dalle forme esponenziali delle funzioni iperboliche, dico bene?

da **gotthard** » 5 set 2013, 15:09

Credo proprio di si ;-)

da **tecfil** » 5 set 2013, 15:21

Occhio che la radice arriva fino in fondo :-)

$\sqrt{x^2+1}$

Ciaoo!

da **Ianero** » 5 set 2013, 15:30

L'inversa si può dimostrare semplicemente così (oggi sto in vena di carta e penna :mrgreen:

):

$sinh(x)=f(x)=y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

Sostituendo le variabili e facendo due conti...

$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$
$2x=e^y-e^{-y}$
$2x=\frac{e^{2y}-1}{e^y}$
$e^{2y}-2e^yx-1=0$

Sostituzione: e^y=z

$z^2-2zx-1=0\Rightarrow z=e^y=x\pm \sqrt{x^2+1}$

Quindi:

$y=f^{-1}(x)=arcsinh(x)=ln( x\pm \sqrt{x^2+1})$

da **gotthard** » 5 set 2013, 15:34

Allora la dimostrazione dovrebbe essere questa:

$sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

$2sinh(x)=e^x-e^{-x}$

$2sinh(x)=\frac{e^x e^x-1}{e^x}$

$2sinh(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^x}$

$2 e^{x} sinh(x)=e^{2x}-1$

$-2 e^{x} sinh(x)+e^{2x}-1=0$

Ora poniamo t=e^x

:

Ora, usiamo la formula risolutiva ridotta (dato che nell' equazione del tipo:

ax^2+bx+c=0

, il termine

è pari), cioè:

$t_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt {{(\frac{b}{2}})^2-ac}}{a}$

E quindi, si ha:

$t=sinh(x) \pm \sqrt{[sinh(x)]^2+1}$

Ora, ricordiamo che t=e^x

, quindi:

$e^x=sinh(x) \pm \sqrt{[sinh(x)]^2+1}$

Applichiamo il logaritmo naturale

in ambo i membri:

$ln{(e^x)}=\ln{[sinh(x) \pm \sqrt{[sinh(x)]^2+1]}}$

Da cui si ottiene:

$x=\ln{[sinh(x) \pm \sqrt{[sinh(x)]^2+1}]}$

E quindi:

$sinh^{-1}(x)= \ln{[x \pm \sqrt{x^2+1}]}$

da **Ianero** » 5 set 2013, 15:58

gotthard abbiamo scritto le stesse identiche cose o sbaglio?

da **gotthard** » 5 set 2013, 16:01

Hai proprio ragione :!:

Non me ne ero proprio accorto che avevi postato 4 minuti prima di me #-o

Ci ho impiegato circa un quarto d' ora a scrivere tutto :mrgreen:

da **Ianero** » 5 set 2013, 22:27

Massì, due è meglio di uno O_uu_O

da **sebago** » 6 set 2013, 19:02

Biagio

Ianero, ma non ti sei appena diplomato? Vacanze niente?

da **Ianero** » 6 set 2013, 19:20

Una settimana off mi sono preso in tutta l'estate, avevo un sacco di cose da recuperare, e poi fondamentalmente io trovo divertente farlo :)

... non dirmi che ci conosciamo di persona e non l'ho mai saputo

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