Affinare il linguaggio

[Ianero]

Comunque ho capito il problema...

La risposta è che non c'è nessuna contraddizione (ovviamente) e non rappresenta nessun problema il fatto che (la dimostrazione sono quelle 2 uguaglianze in fila in [66]).

Nonostante questo, non è una espressione (l'espressione, per la precisione) q-aria di . Il motivo è che una espressione, per essere definita q-aria di un numero deve soddisfare la disuguaglianza:

.

Solo per le espressioni che sono q-arie vale che c'è una corrispondenza biunivoca successione di digits e che non possono essere composte sempre da da un certo indice in poi.
Per le espressioni del tipo che non sono invece q-arie, cioè non hanno la proprietà, può succedere qualunque cosa, come ad esempio fa vedere .

In altre parole l'espressione -aria di è , . Poi, esiste un'altra successione del tipo che converge ugualmente a . Ma questa non è q-aria, e allora non mi interessa e non gode delle proprietà di cui godono queste ultime.

Se avete tempo mi aiuterebbe una conferma, per favore

[PietroBaima]

Good job

[Ianero]

[Ianero]

Tornando a questo (da cui tutto è partito):

A pagina 104 - Sec. 3.1.5 - Problema 1 (sempre del solito libro) mi chiede di far vedere che un numero è razionale se e solo se la sua espressione q-aria per qualunque base è periodica da un certo indice in poi (cioè i digits si ripetono uguali a gruppi).

L'altra implicazione di cui non abbiamo parlato finora è:

ha espressione q-aria periodica per ogni base

sono personalmente riuscito a dimostrarla solo nel caso di base naturale. Dopo un po' mi sono cominciati a sorgere dei dubbi sulla veridicità della cosa anche con basi non naturali (perché già l'implicazione inversa nascondeva una mancanza di ipotesi simile). Ad ogni modo, il documento linkato in [62] da DD dà speranza, perché lì vengono calcolati alcuni razionali con base aurea ed effettivamente l'espressione che ne viene fuori è periodica.

Su internet ho girato ma non ho trovato granché.
A voi risulta che questa cosa sia vera per qualunque base reale (sempre ovviamente)?

PS: Se interessa posto la dimostrazione che ho fatto, emerge il perché sorgono problemi quando non è naturale, solo che è un po' lunghetta e non vorrei spammare troppo.

[Ianero]

Dopo un po' mi sono cominciati a sorgere dei dubbi sulla veridicità della cosa anche con basi non naturali (perché già l'implicazione inversa nascondeva una mancanza di ipotesi simile).

I dubbi erano fondati, la risposta infatti è no.
In sostanza mi ha chiesto di dimostrare una cosa falsa in entrambi i sensi, ma è stato comunque utile perché mi ha permesso di allargare il discorso e vedere dove e perché smetteva di valere.