Problema sui massimi e minimi delle funzioni

[rovigo]

C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi a risolvere il problema seguente?

"Inscrivere in un triangolo dato un rettangolo d'area massima avente un lato appoggiato sulla base del triangolo".

Nel libro dal quale ho tratto il problema viene dato un suggerimento e cioè: detta h l'altezza del triangolo ed x quella del rettangolo, si trova x=h/2.
Mi interesserebbe conoscere il procedimento che porta alla soluzione del problema.
Grazie

[dona79]

ma in un triangolo qualsiasi?

[webmaster]

La situazione è quella illustrata in figura:

(Il piede dell'altezza AH deve cadere all'interno di BC (i.e. il rettangolo non deve appoggiare la base su un lato adiacente ad un angolo ottuso), altrimenti il rettangolo non è inscrivibile).

Consideriamo il caso che il triangolo sia rettangolo, e che il rettangolo abbia due lati appoggiati sui due lati ortogonali del triangolo. Nella nostra figura cerchiamo cioè di massimizzare l'area di H'EHC inscritto in AHC. Se troviamo un valore di HH' che dipende solo dal valore dell'altezza AH, allora possiamo concludere anche per il caso generale: infatti così troviamo un rettangolo R1 HH'EC che massimizza l'area dei triangoli inscritti in AHC, e un rettangolo B'HH''D (R2) che massimizza l'area dei rettangolo inscritti in ABH. Ma l'altezza dei due rettangoli dipende solo da AH, quindi H=H'', quindi l'unione dei due rettangoli è ancora un rettangolo, che chiaramente ha area massima.

Diamo qualche nome:chiamiamo la lunghezza di HH' x, la lunghezza di AH d, la lunghezza di HC l. AH' ha quindi lunghezza d-x. Quindi H'E ha lunghezza l (d-x)/d. Allora l'area del rettangolo H'ECH è uguale a
l(d-x)x/d. E' una parabola rivolta all'ingiù, quindi ha un unico massimo per x tale che ld -2lx=0, cioè per x=d/2.

[rovigo]

Ti ringrazio per la risposta. Efficace il disegno e la spiegazione.