ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **macco** » 17 set 2012, 12:39

ciao a tutti,vi propongo un esercizio di comunicazioni elettriche,e vi chiedo se potete aiutarmi con la teoria e con la logica,poiché possiedo la soluzione ma non riesco rifacendolo ad ottenere tale valore,o meglio mi blocco prima di ottenerlo.

Esercizio:

La variabile aleatoria (v.a) x ha densità di probabilità $\ f_x (x) = hx$ per $0 \le x \le 3$ e zero altrove.

Richieste:

Trovare il valore di

,media e varianza di x

Calcolare la densità di probabilità della v.a $\textbf{y}= 2 - \textbf{x}$ calcolare quindi la media di $\textbf{y}$ e la probabilità che $\textbf{y} \le 0$

Sia $\textbf{z}= \textbf{x}-\textbf{y}$ calcolare la probabilità che $\textbf{z} > 1$

Per quanto riguarda la prima domanda non ho alcun tipo di problema,sono riuscito ad ottenere il valore di $h=\frac{2}{9}$ la $E\{x\}=2$ e $\sigma_{x}^{2} = 0.5$

e ora iniziano le mie incomprensioni,la domanda 2,sono in presenza di una funzione di una variabile aleatoria quindi sapendo che la variabile x valeva un valore tra 0 e 3 vado a sostituire alla x della funzione $\textbf{y}= 2 - \textbf{x}$ e ottengo il campo in cui è definita la mia nuova variabile ossia tra $-1 \le y \le 2$ ma ora non so più come proseguire o meglio che ragionamento seguire.

Sapreste aiutarmi?

grazie mille

da **DirtyDeeds** » 22 set 2012, 0:46

Ci sono due possibilità, ma per adesso ti do questo suggerimento:

$F_{\boldsymbol{y}}(y) = \mathbf{P}(\boldsymbol{y} < y) = \mathbf{P}(\boldsymbol{x} > 2-y)$

da **macco** » 23 set 2012, 12:48

ti ringrazio per la risposta,ti spiego dove mi blocco (anche se non c vuole molto

)
Allora prendo la V.a y e vado a sostituire i valori assunti dalla v.a x nei punti del "Dominio in cui è definita" ottengo i seguenti valori:

$\begin{align} x(0) = 0 \\ x(1) = \frac{2}{9} \\ x(2) = \frac{4}{9} \\ x(3) = \frac{6}{9} \\ \end{align}$

successivamente considero la funzione di v.a. y e vado a sostituire le uscite della v.a. x e poi non so come procedere,non mi è chiaro il ragionamento.

In ciò che faccio sbaglio già o almeno i pochi passi che eseguo sono corretti?

da **DirtyDeeds** » 23 set 2012, 13:49

macco ha scritto:In ciò che faccio sbaglio già o almeno i pochi passi che eseguo sono corretti?

No, non mi sembrano corretti.

Partiamo dal suggerimento che ti ho dato:

$F_{\boldsymbol{y}}(y) = \mathbf{P}(\boldsymbol{y} < y) = \mathbf{P}(\boldsymbol{x} > 2-y)$

Questa equazione ci dà la funzione distribuzione cumulativa di $\boldsymbol{y}$ in funzione di quella di $\boldsymbol{x}$ . La funzione distribuzione è infatti definita come

$F_{\boldsymbol{y}}(y) = \mathbf{P}(\boldsymbol{y} < y)$

Se tale funzione è poi derivabile, puoi trovarti la densità di probabilità

$f_{\boldsymbol{y}}(y) = \frac{\text{d} F_{\boldsymbol{y}}(y)}{\text{d} y}$

che è la funzione da te cercata. Quindi

$F_{\boldsymbol{y}}(y) = \mathbf{P}(\boldsymbol{y} < y) = \mathbf{P}(\boldsymbol{x} > 2-y) = 1 - \mathbf{P}(\boldsymbol{x} < 2-y) = 1-F_{\boldsymbol{x}}(2- y)$

ma

$F_{\boldsymbol{x}}(x) = \int_{-\infty}^x f_{\boldsymbol{x}}(x^\prime)\,\text{d}x^\prime$

e poiché $f_x (x) = \frac{2}{9}x$ per $0 \le x \le 3$ e zero altrove si ha

$F_{\boldsymbol{x}}(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ \frac{1}{9}x^2 & 0 \le x \le 3 \\ 1 & x > 3 \end{cases}$

Sostituendo 2-y

a

si ha

$F_{\boldsymbol{x}}(2-y) = \begin{cases} 0 & y > 2 \\ \frac{1}{9}(2-y)^2 & -1 \le y \le 2 \\ 1 & y < -1 \end{cases}$

da cui

$F_{\boldsymbol{y}}(y) = 1-F_{\boldsymbol{x}}(2- y) = \begin{cases} 0 & y < -1 \\ 1-\frac{1}{9}(2-y)^2 & -1 \le y \le 2 \\ 1 & y > 2 \end{cases}$

e infine

$f_{\boldsymbol{y}}(y) = \frac{\text{d} F_{\boldsymbol{y}}(y)}{\text{d} y} = \begin{cases} 0 & y < -1 \\ \frac{2}{9}(2-y) & -1 < y < 2 \\ 0 & y > 2 \end{cases}$

Il tutto, salvo errori :-)

PS: c'è un metodo più breve che consiste nell'usare una "formula già fatta", ma così credo sia più istruttivo.

da **macco** » 23 set 2012, 21:07

una cosa che non mi torna,non vorrei averla scritta male io ma:

$F_{\boldsymbol{x}}(x) = \int_{-\infty}^x F_{\boldsymbol{x}}(x^\prime)\,\text{d}x^\prime$

non è così:

$F_{\boldsymbol{x}}(x) = \int_{-\infty}^x f_{\boldsymbol{x}}(x^\prime)\,\text{d}x^\prime$

perché se no ho scritto sbagliato negli appunti.

da **DirtyDeeds** » 23 set 2012, 21:10

Sì, è così, ho fatto un copia-incolla dimenticandomi di cambiare la f. Adesso correggo.

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Funzione di una variabile aleatoria

[1] Funzione di una variabile aleatoria

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