ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **PietroBaima** » 11 ott 2013, 0:26

Ianero mi ha scritto un MP chiedendomi la dimostrazione del teorema di Binet. Non ha aperto un ulteriore post, dice, per non spammare inutilmente.
Se questa è la tua preoccupazione

Ianero, stai tranquillo... magari fossero così tutte le richieste.

Rispondo qui alla sua richiesta in modo che possa eventualmente essere utile anche ad altri.
Cercherò di non fare la solita dimostrazione noiosa con i minori, che si trova anche nei peggiori bar di Caracas...

Lemma1: Operazioni elementari su matrici.

Sia $\mathbb{K}$ un campo,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle A\in\mathbb{K}^{n,n}}}$ ,

Allora

a. Quando sulla matrice A si scambiano due righe fra loro, il determinante cambia di segno
$R_{i}\longleftrightarrow R_{j\ \ \ }\Longrightarrow\det(\boldsymbol{A}^{\prime})=-\det(\boldsymbol{A})$

b. Quando sulla matrice A si sommano due righe fra loro con un peso k, il determinante viene moltiplicato per lo stesso peso k (il peso m non ha influenza)
$R_{i}\longrightarrow kR_{i}\text{+}mR_{j}\ \ \ \Longrightarrow\det(\boldsymbol{A}^{\prime})=k\ \det(\boldsymbol{A})$

c. Quando sulla matrice A si moltiplica una riga per un peso k, il determinante viene moltiplicato per lo stesso peso k (è un caso particolare di b.)
$R_{i}\longrightarrow kR_{i}\ \ \ \Longrightarrow\det(\boldsymbol{A}^{\prime})=k\ \det(\boldsymbol{A})$

Dimostrazione:

Segue dalla definizione di determinante data da Laplace:

$\det(A) = \sum_{j=1}^n\ a_{i,j}C_{i,j}$

dove $C_{i,j}$ è il complemento algebrico della coppia (i,j) , cioè $C_{i,j}$ è dato da $(-1)^{i+j}$ per il determinante del minore di ordine n-1 ottenuto dalla matrice A eliminando la riga i-esima e la colonna j-esima.

A proposito: se dovete fare un programma che calcoli il determinante, non pensate neppure di utilizzare questa formula, perché guardandola bene si scopre che la complessità computazionale, essendo una formula permutatoria, cresce come O(n!) (da suicidio, in pratica). Esistono modi mooolto più efficienti, compreso l'evitare il calcolo del determinante, ma questa è una pseudobattuta

Cerchiamo ora di formalizzare il calcolo del determinante andando a cercare una definizione costruttiva per le operazioni riportate qui sopra.
L'idea principale è quella di trovare una matrice che, moltiplicata per la matrice originale, realizzi l'operazione elementare (scambio di righe, somme con peso e moltiplicazione per costante).
Supponiamo, per semplicità, di avere una matrice 2x2, così:

$\boldsymbol{A=}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$
e di voler fare su di essa le operazioni elementari:

scambio della prima riga con la seconda
somma della prima riga con la seconda con peso k=3 e m=2 per la prima riga
moltiplicazione della seconda riga per 2

Otterremmo:

$\boldsymbol{A^{\prime}=}\begin{pmatrix}c & d\\ a & b \end{pmatrix}$
$\boldsymbol{A^{\prime}=}\begin{pmatrix}3a+2c & 3b+2d\\ c & d \end{pmatrix}$
$\boldsymbol{A^{\prime}=}\begin{pmatrix}a & b\\ 2c & 2d \end{pmatrix}$

Beh, si vede che la prima matrice si può ottenere da quella originale in questo modo:

$\boldsymbol{A^{\prime}=}\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

e la seconda in questo modo:

$\boldsymbol{A^{\prime}=}\begin{pmatrix}3 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

e la terza in questo modo:

$\boldsymbol{A^{\prime}=}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

E' possibile osservare che è equivalente fare l'operazione elementare sulla matrice A oppure su una matrice identica premoltiplicata alla matrice A.
In pratica per trovare la matrice da premoltiplicare ad A è sufficiente prendere una matrice identica e fare su di essa l'operazione elementare da effettuare.
Queste matrici così ottenute si chiamano matrici elementari.
Ovviamente il ragionamento si può estendere ad una matrice di dimensione qualunque, reale o complessa.

Lemma2: Matrici elementari

Sia $\mathbb{K}$ un campo,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle A\in\mathbb{K}^{n,n}}}$ tale che $\det\boldsymbol{{\displaystyle A}}\neq 0$ ,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle E\in\mathbb{K}^{n,n}}}$ ,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle E}}$ Elementare.

Allora

a. $\boldsymbol{{\displaystyle E}}$ è sempre invertibile;
b. $\boldsymbol{{\displaystyle E}}$ ammette una inversa altrettanto elementare;
c. $\boldsymbol{{\displaystyle A}}$ è sempre scomponibile in un prodotto di k termini, con k<n, di matrici $\boldsymbol{{\displaystyle E_i}}$ . ( $\boldsymbol{{\displaystyle A}}=\boldsymbol{{\displaystyle E_1}}\boldsymbol{{\displaystyle E_2}}\dots$ $\boldsymbol{{\displaystyle E_k}}$ )

Dimostrazione
a. Cerchiamo di dimostrare l'esistenza di una matrice B tale che $\boldsymbol{{\displaystyle E}}\boldsymbol{{\displaystyle B}}=\boldsymbol{{\displaystyle I}}$ .
Essendo E ottenuta da trasformazioni elementari su una matrice identica sarà sufficiente fare l'operazione elementare inversa per ritornare alla matrice identica. Questo punto è quindi ovvio. Esistendo però sempre l'inversa significa anche che una matrice elementare ha sempre determinante non nullo e rango massimo.

b. Anche questo è ovvio, poiché se E è elementare dovrà essere elementare anche la sua inversa, proprio perché è stata ottenuta dalla trasformazione inversa.

c. E' possibile passare da una matrice identità ad una qualunque matrice di rango massimo tramite un numero finito di trasformazioni elementari. poiché le trasformazioni elementari seguono la dimensione della base dello spazio vettoriale in cui risiede la matrice saranno sufficienti un numero non superiore di trasformazioni elementari per arrivare a definire una qualunque matrice in quello spazio.

Vediamo di fare un esempio su come sviluppare una matrice A nel prodotto delle sue elementari.

Si vuole trovare, per la matrice $\boldsymbol{A^{\prime}=}\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ lo sviluppo in matrici elementari:

scriviamo

$\boldsymbol{I\ A=A}$ (è ovvio lo so)

$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\ \ \ R_{1}\rightarrow R_{1}-R_{2}$

$\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\boxed{\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}\ \ \ R_{2}\rightarrow\frac{1}{2}R_{2}$

$\boxed{\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Adesso sono arrivato a scrivere una formula del tipo:

$\boldsymbol{E_{2}\ E_{1}\ A=I}$

con

$\boldsymbol{E_{2}=}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

e

$\boldsymbol{E_{1}=}\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Sono a posto!

perché?
perché se:

$E_{2}\ E_{1}\ A=I$

Allora

$A=E_{1}^{-1}\ E_{2}^{-1}$

e le matrici inverse di matrici elementari sono elementari!

poiché l'inversa di una matrice 2x2 vale:

$\boldsymbol{A=}\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

$\boldsymbol{A^{-1}}={\displaystyle \frac{1}{\det \boldsymbol{A}}}\begin{pmatrix}d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$

ho che:

$\boldsymbol{E_{1}^{-1}=}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

e

$\boldsymbol{E_{2}^{-1}=}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Verifichiamo che

$A=E_{1}^{-1}\ E_{2}^{-1}$

$\boldsymbol{A=}\begin{pmatrix}1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

Sì, funziona.

Lemma3: Determinanti su matrici elementari.

Sia $\mathbb{K}$ un campo,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle E\in\mathbb{K}^{n,n}}}$ ,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle E}}$ Elementare.
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle B\in\mathbb{K}^{n,n}}}$ ,

Allora:

$\det(\boldsymbol{{\displaystyle E\ \displaystyle B}})=\det(\boldsymbol{{\displaystyle E}})\det(\boldsymbol{{\displaystyle B}})$

dimostrazione:

Supponiamo che $\boldsymbol{\displaystyle {E}}$ sia una matrice elementare ottenuta dallo scambio di due righe. Per le regole sui determinanti sappiamo che, essendo il determinante della matrice identica pari ad uno, il determinante della matrice elementare è pari a -1.
Sappiamo anche che il prodotto della matrice elementare per la matrice B è in realtà pari alla matrice B con due righe scambiate, quindi sappiamo che il determinante cambia segno.
Possiamo quindi scrivere:

$\det(E\ B)=\det(B^{\prime})=-\det(B)=\det(E)\det(B)$

dove l'ultima uguaglianza è determinata dal fatto che sappiamo che il determinante di quella matrice elementare vale -1.

E' possibile estendere il ragionamento agli altri casi di matrici elementari.

quindi:

Teorema (di Binet):

Sia $\mathbb{K}$ un campo,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle A\in\mathbb{K}^{n,n}}}$ ,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle B\in\mathbb{K}^{n,n}}}$

Allora

$\det\left(\boldsymbol{AB}\right)=\det\left(\boldsymbol{A}\right)\det\left(\boldsymbol{B}\right)$

Dimostrazione:

Se il determinante di A e B è non nullo è possibile scomporre A (o B è lo stesso) in matrici elementari.

$\boldsymbol{\det(E_{1}E_{2}\ldots E_{i}B)=}$

$\det(\boldsymbol{E_{1}C)}=\boldsymbol{\det(E_{1})\det(C)}=$

$\boldsymbol{\det(E_{1})\det(E_{2}C)=\det(E_{1})\det(E_{2})\det(C)}=$

$\boldsymbol{\ldots=\det(E_{1})\det(E_{2})\ldots\det(E_{i})\det(B)}}=$

$=\boldsymbol{\det(A)\det(B)}$

Non abbiamo ancora finito, perché il teorema non è dimostrato se uno o entrambi i determinanti delle matrici A o B sono nulli.
In questo caso è sufficiente ricordare che il rango del prodotto di due matrici è sempre minore o uguale al rango minore delle due matrici. Cioè:

$\rho(\boldsymbol{AB})\leqslant\min\left\{ {\rho(\boldsymbol{A}),\rho(\boldsymbol{B})}\right\}$

Ciò vuol dire che se una delle due matrici ha determinante nullo il suo rango non sarà massimo, quindi il prodotto delle due matrici non potrà avere rango massimo, quindi avrà determinante nullo.
Per la regola di annullamento del prodotto è possibile estendere il risultato del teorema anche a questo caso.

QED

Pietro.

da **PietroBaima** » 11 ott 2013, 12:26

Urca, grazie a tutti!

Visto che il teorema di Binet vi piace... rilancio!

Una generalizzazione del teorema di Binet (importantissima per la definizione della delta di Kroneker generalizzata, che porta poi ai tensori) è la seguente:

Teorema (di Cauchy-Binet)

Sia $\mathbb{K}$ un campo,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle A\in\mathbb{K}^{m,n}}}$ ,
Sia $\boldsymbol{{\displaystyle B\in\mathbb{K}^{n,m}}}$

Allora

$\det(AB) = \sum_S \det(A_S)\det(B_S)$

Dove S è l'insieme dei minori mxn e nxm.

Questo vuol dire che il determinante della matrice prodotto è la somma dei tutti i minori (quadrati) di A e di B.

Esempio:

Assumiamo m = 2 and n = 3

$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

$\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}-1 & -2\\ -3 & -4\\ -5 & -6 \end{pmatrix}$

si ha che il determinante del loro prodotto vale:

$\det(\boldsymbol{AB})=\left|\begin{matrix}1 & 2\\ 4 & 5 \end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}-1 & -2\\ -3 & -4 \end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}2 & 3\\ 5 & 6 \end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}-3 & -4\\ -5 & -6 \end{matrix}\right|+\left|\begin{matrix}1 & 3\\ 4 & 6 \end{matrix}\right|\cdot\left|\begin{matrix}-1 & -2\\ -5 & -6 \end{matrix}\right|.$

Anche questo teorema è dimostrabile facendo unicamente uso delle matrici elementari, o meglio... di una loro estensione ... poco quadrata!

Chi vuole cimentarsi? (non è poi così difficile) :mrgreen:

Grazie ancora a tutti e... alla prossima!

O_/

Pietro.

da **Ianero** » 12 ott 2013, 7:34

Grazie infinite!
Adesso ho capito perché il lemma 3 è ovvio :)

Che dici, posso provarci anche io a partecipare al "quiz"?
O ci vogliono conoscenze di geometria che non ho? (Avrai capito a che punto sono arrivato dalla mia domanda :) )

da **PietroBaima** » 12 ott 2013, 9:30

Ianero, prego! Sono felice che ti sia piaciuta la dimostrazione.
Certo che puoi cimentarti nella dimostrazione del teorema di Binet generalizzato!
Non richiede altro che una estensione delle matrici elementari a cui puoi arrivare ragionando su quanto ho già scritto per Binet.

Buon divertimento ;-)

Ti suggerisco di pensare in un modo semplice. Vedrai che non è difficile.

Ciao,
Pietro.

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Teorema di Binet

[1] Teorema di Binet

[2] Re: Teorema di Binet e ... di Cauchy-Binet

[3] Re: Teorema di Binet

[4] Re: Teorema di Binet

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits