Info Delta Dirac

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Salve a tutti, avrei il seguente quesito da porvi:

Sia $\Delta (f)$ la trasformata di Fourier della funzione $\delta(t)$

$\Delta (f) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(t) \ e^{-j2\pi ft } \, dt$

applicando la prop. di campionamento della delta otteniamo:

$\Delta (f) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\delta(t) e^{-j2\pi ft } dt = e^{-j2\pi ft } \rvert_{t = 0} \, = 1$

A questo punto per il th. di dualità si ottiene facilmente :

$1 \leftrightarrow \delta(-f) = \delta(f)$

1) E se volessi calcolare la trasformata di $x(t) = k \,$ ?

2) La trasformata di $x(t) = 1 \rightarrow \delta(t)$ si ottiene soltanto tramite il th. di dualità
oppure anche applicando normalmente l'equazione di analisi alla funzione x(t) = 1 ?