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da **GustaVittorio** » 19 feb 2014, 12:05

Salve ragazzi dovrei dimostrare questa formula per induzion... per quanto riguarda la base non ci sono problemi, ma quando passo all'ipotesi induttiva ho difficoltà:

$\sum_{k=-n}^{2n}k^{2}=\frac{n}{2}(6n^{2}+5n+1)$

al passo induttivo devo dimostrare che:

$\sum_{k=-(n+1)}^{2n+2}k^{2}=\frac{n+1}{2}(6(n+1)^{2}+5(n+1)+1)$

tale sommatoria posso scomporla:
$\sum_{k=-(n+1)}^{2n+2}k^{2}=\sum_{k=-n}^{2n}k^{2}$ +....

come faccio a capire quali altri contributi mettere?? in questo esercizio abbiamo aggiunto (-n-1)^2+ (2n+1)^2+ (2n+2)^2 e si trova, ma non ho capito perché!!!!

potreste spiegarmi per bene come capire quali termini aggiungere per verificare anche il passo induttivo

?

da **PietroBaima** » 19 feb 2014, 12:21

Uh, toh, la formula per i numeri piramidali quadrati.

Che bella storia c'è dietro a quella formula!
Tornando a noi, secondo me, più che non avere capito come applicare il metodo di induzione su quella formula, non hai capito l'induzione in generale.

Quindi guardati bene il metodo di induzione, poi torna su quella formula.
Come consiglio semplificativo posso dirti di ricondurre la formula a partire da 0 e non da -n.

Ciao,
Pietro.

da **DirtyDeeds** » 19 feb 2014, 12:23

GustaVittorio ha scritto:come faccio a capire quali altri contributi mettere?

Quelli che mancano ;-)

Considera

$\sum_{k=-(n+1)}^{2n+2}k^2$

La sommatoria va da -(n+1)

a

, ovvero

$k = -n-1,\underbrace{-n,-n+1,\ldots,2n-1,2n}_{k=-n,\ldots,2n},2n+1,2n+2$

Quindi

$\sum_{k=-(n+1)}^{2n+2}k^{2}=\sum_{k=-n}^{2n}k^{2}+[-(n+1)]^2+(2n+1)^2+(2n+2)^2$

da **GustaVittorio** » 19 feb 2014, 12:34

La sommatoria va da -(n+1)

a

, ovvero

$k = -n-1,\underbrace{-n,-n+1,\ldots,2n-1,2n}_{k=-n,\ldots,2n},2n+1,2n+2$

credo di aver capito!!! in pratica sei partita da -n e hai aggiunto sempre 1, fino ad arrivare al termine della sommatoria(2n+2) giusto?

da **DirtyDeeds** » 19 feb 2014, 12:38

GustaVittorio ha scritto: in pratica sei partita da -n

Da

. Comunque quella è l'interpretazione del simbolo di sommatoria: somma su tutti i termini con indice intero variabile dal minimo al massimo indicati.

da **GustaVittorio** » 19 feb 2014, 12:45

Tipo per quest'altro caso:
$\sum_{k=n}^{2n}k=\frac{3}{2}n(n+1)$

$\sum_{k=n+1}^{2n+1}k= \sum_{k=n}^{2n}k+.....$

adottanto lo stesso ragionamento,interpretazione della sommatoria,come potrei arrivarci?
k = n+1, n+2, 2n+1 ... mi imbroglio un po' #-o

da **DirtyDeeds** » 19 feb 2014, 12:49

Guarda che a volte bisogna togliere dei termini. Se hai difficoltà, fatti un elenco su carta fissando un particolare n.

da **GustaVittorio** » 19 feb 2014, 12:58

fisso n=1, quindi la sommatoria va da 2 a 4...

conosco già il risultato della sommatoria che va da 1 a 2...

quindi k = 2, 2-1,0,1,2, 2+1,2+2...

k= n+1, n-1, n, n+1 ,2n , 2n+1, 2n+2...

i termini in piu sarebbero n+1,2n1+,2n+2...
però in questo esercizio ho aggiunto " n+1 e 2n+2"
tu come faresti l'interpretazione di quella sommatoria? perché secondo me è lì che sbaglio, è tutto lì!