Errore di discretizzazione interpolazione polinomiale

Messaggioda **MrFrost** » 27 giu 2014, 15:47

Ciao,

della relazione indicata :

$f(x)-P_{n}(x) = \frac{1}{(n-1)!}f^{n+1}(\xi )\omega _{n+1}(x)$

non mi è chiaro il ruolo di questi due termini....

$f^{n+1}(\xi)$

$\omega _{n+1}(x)$

potreste illuminarmi :-)

grazie

Messaggioda **Ianero** » 27 giu 2014, 16:27

Nell'interpolazione polinomiale l'errore di discretizzazione (troncamento, quindi quello di propagazione è trascurabile) è dato in generale da:

$\mbox{E}_{T}\left( x \right)=\frac{f^{\left( n \right)}\left( \xi \right)}{n!}\pi _{n}\left( x \right)$

dove $\pi _{n}\left( x \right)$ è il polinomio nodale e $\xi$ è un opportuno punto nel quale calcolare la derivata n-esima.
Siccome tale punto è in generale sconosciuto è possibile effettuare delle maggiorazioni per la stima dell'errore:

$\frac{\lambda }{n!}\pi _{n}\left( x \right)\; \leq \; \mbox{E}_{T}\left( x \right)\; =\frac{f^{\left( n \right)}\left( \xi \right)}{n!}\pi _{n}\left( x \right)\; \leq \; \frac{\Lambda }{n!}\pi _{n}\left( x \right)$

dove:

$\lambda =\min _{x\; \in\; \left[ a,b \right]}f^{\left( n \right)}\left( x \right)$

$\Lambda =\max _{x\; \in\; \left[ a,b \right]}f^{\left( n \right)}\left( x \right)$

:-)

Messaggioda **MrFrost** » 27 giu 2014, 18:27

Ciao

nel ringraziarti

, volevo chiederti un'ultima cosa, il polinomio nodale, che tipo di informazione ci fornisce?

Messaggioda **Ianero** » 27 giu 2014, 18:41

Nell'errore la presenza del polinomio nodale permette l'annullamento della funzione se calcolata nei nodi.
Ragionevole no? :-)

Se vuoi la dimostrazione analitica stasera la posto, ora sono con il telefono O_/

PS: Dimenticavo,

è il numero dei nodi, ovviamente.

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