Ramanujan e l'infinito

[Ianero]

1-2+3-4+5-6+... +
1-2+3-4+5-... =
1-1+1-1+1-1+... = 0.5

Da cui: 1-2+3-4+5-6+... = 0.25

E se facessi così?

1-2+3-4+5-6+... = 1+(-2+3)+(-4+5)+... = 1+1+1+1+1+... = 0.25
1-2+3-4+5-6+... = (1-2)+(3-4)+(5-6)+... = -1-1-1-1-1-... = 0.25

0.25 = -0.25

[sebago]

Biagio, non esagerare con le birrette

[Ianero]

Dici che è l'alcol eh?

[fairyvilje]

L'assoluta convergenza sarebbe tua amica per conservare le proprietà commutative della somma
Tempo fa avevo trovato un articolo che parlava di una generalizzazione del concetto di limite per una serie non assolutamente convergente. Purtroppo non riesco più a trovarlo

[Ianero]

Puoi spiegarti meglio?
Qui ho usato solo l'associativa

[fairyvilje]

Questo :).
Le proprietà di associatività e commutatività che contraddistinguono la somma nei numeri naturali non valgono necessariamente per le somme infinite :).

[Ianero]

Che bello!
Grazie!

[PietroBaima]

Eh, mannaja, devo mettermi davvero a fare il thread sulle funzioni speciali. Ce n'è bisogno.

La dimostrazione del filmato è errata e basta, ma il risultato è forse giusto

Come già detto le proprietà usuali dell'aritmetica valgono solo se la somma è assolutamente convergente, condizione che è sempre verificata se la somma comprende un numero finito di termini, ragion per cui i matematici non se ne sono accorti finché non hanno pensato alle serie.

Eulero fu il primo a ipotizzare che il concetto di somma andasse cambiato, ma dimostrò facendo alcuni errori (su cose che all'epoca non erano ancora chiarite).

Il problema è che il destino di Eulero era quello di avere ragione anche quando aveva torto, perché la estensione della funzione zeta di Riemann calcolata in -1 (la funzione zeta di Riemann è definita come , quindi ponendo z=-1 ottengo la somma di tutti i naturali) fa proprio... -1/12

Inoltre la somma è estendibile Cesaro sommabile e Ramanujan è arrivato allo stesso risultato per altre vie.

Non si ha ancora una spiegazione chiara del perché succeda questo, ma la formula è comunque usata in alcuni campi della fisica, per esempio per l'effetto Casimir e in QED restituendo risultati verificabili.

Finché non capiremo bene la funzione zeta di Riemann non avremo una risposta chiara.

Qui avete un riferimento.

[sebago]

COSA?
ma per si intendono proprio i numeri naturali? E quel indica proprio la somma?

Per favore dite subito che ho preso fischi per fiaschi o mi viene un coccolone!

[PietroBaima]

COSA?

ho paura di sì.

ma per si intendono proprio i numeri naturali?

ho paura di sì.

E quel indica proprio la somma?

ho paura di sì.

Guarda:

con



(e se lo dice Mathematica, che è parente di Wolfram Alpha... )

Abbiamo anche che:









Però consolati, quanto fa



non lo sa nessuno, e per trovare che



ci si è dovuto pensare MOLTO.