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da **Shika93** » 28 dic 2015, 12:38

Non riesco a capire come risolvere questa equazione differenziale con Laplace

$u^{(4)}-u=0$
u(0)=0, u'(0)=1, u''(0)=2, u'''(0)=3

Io uso la proprietà L(u')=sL(u)-u(0)

quindi potrei scrivere

$u^{(4)}=sL(u''')-u'''(0)$ giusto? E continuo ad applicare la proprietà fino ad arrivare alla fine.
Però c'è da uscirci di testa con le parentesi.

Oppure in uno dei link che mi ha passato

simo85 in un altro post, e cercando su Google c'è per esempio: L(y'') -> s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)

Nel mio caso con la derivata quarta, sarebbe uguale? s^4U(s)-s^3u(0)-s^2u(0)-su(0)-u'(0)

? Non credo perché non tornerebbe con la mia soluzione

da **simo85** » 28 dic 2015, 12:48

Shika, hai dato uno sguardo più approfondito al PDF linkato qui viewtopic.php?f=7&t=61909&start=10#p622223 ?

da **Shika93** » 28 dic 2015, 13:07

Si, il teorema 24.1 fa quello che mi servirebbe e usa sempre la proprietà che ho detto sopra in modo ricorsivo. Tipo per la derivata terza usa la soluzione appena calcolata della derivata seconda e la applica sopra. Se faccio la stessa cosa con la mia derivata quarta, mi torna il polinomio corretto, ma come ho detto prima, se mi mettessi a farlo a mano ci sarebbe da uscirci di testa con le parentesi. E' l'unico modo questo?

da **simo85** » 28 dic 2015, 13:20

Shika93 ha scritto:E' l'unico modo questo?

Che io sappia si.

da **Shika93** » 28 dic 2015, 17:16

Azz provo a farne altre allora

da **DanteCpp** » 28 dic 2015, 17:40

Si può trovare una formula generale ricorrendo al calcolo simbolico:

$\mathcal{L}\left \{ f^{(n)}(t) \right \}=s\mathcal{L}\left \{f^{(n-1)}(t) \right \}-f^{(n-1)}(0)$
$=s^2\mathcal{L}\left \{f^{(n-2)}(t) \right \}-sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)$
=...

da cui:

$\mathcal{L}\left \{ f^{(n)}(t) \right \}=s^nF(S)-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)- ... -sf^{(n-2)}(0)-f^{(n-1)}(0)=$
$\mathcal{L}\left \{ f^{(n)}(t) \right \}=s^nF(S)-\sum_{i=0}^{n-1} s^{n-1-i}f^{(i)}(0)$

da **Shika93** » 28 dic 2015, 17:58

Mi piace proprio tanto questa! Ho fatto $u^{(4)}+8u''+16u=0$ facendo il calcolo ricorsivo e ogni 3x2 mi perdevo una parentesi e non capivo più niente. Con questa formula mi ci è voluto un minuto. Grazie mille!

da **g.schgor** » 28 dic 2015, 18:47

Se ti può essere utile, riporto la soluzione ottenuta con Mathcad:
Mettendo in sistema le varie derivate con le rispettive condizioni iniziali
trovo la
$u(s)=s \cdot \frac{s^2+2s+3}{s^4-1}$
che, antitrasformata, dà:
$u(t)=\frac{3}{2}e^t+\frac{1 }{2}e^{-t} -\cos(t)+\sin(t)$

da **Shika93** » 28 dic 2015, 19:22

C'è una s di troppo in u(s) e i termini dell'antitrasformata sono tutti negativi, tranne il primo.
L'ho rifatto adesso con la formula di DanteCpp e mi torna come nella soluzione.
$U(s)=\frac{s^2+2s+3}{s^4-1}$

$u(t)=\frac{3}{2}e^t-\frac{e^{-t}}{2}-sin(t)-cos(t)$

da **g.schgor** » 29 dic 2015, 9:30

Solo ora ho potuto accedere al computer con. Mathcad
per controllare la soluzione riportata nel mio post precedente.
In effetti quella è la "risposta" di Mathcad, che però andrebbe
applicata al gradino unitario (1/s) per ottenere la soluzione
da te indicata.

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Equazioni differenziali con Laplace

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