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da **Shika93** » 4 nov 2017, 21:00

Non riesco a venire a capo di questo problema
$\begin{cases} y'(x)=-\frac{y(x)}{1+e^{y(x)}}\\ y(0)=1 \end{cases}$
in cui devo determinare la soluzione locale e globale.
Ho già la soluzione, ma non capisco cosa fa.
Se prendo la funzione $f(x,y)=-\frac{y}{1+e^y}$ vedo che è $C^{\infty}(\mathbb{R}^2)$ quindi esiste una soluzione locale unica per il teorema di Cauchy-Lipschitz.
Per vedere se esiste una soluzione globale, controllo se

è limitato, e qui la soluzione fa
$|y'|\leq \begin{cases} 1+\frac{|y|}{1+e^y}\leq c & \text{ per } y>0 \\ 1+\frac{|y|e^y}{1+e^y}\leq c' & \text{ per } y<0 \end{cases} \leq max \left \{ c,c' \right \}$
e non capisco perché prenda il modulo e come determini le due soluzioni per y>0 e y<0. Ovviamente prendendo il massimo vede che la funzione è limitata e quindi che esiste una soluzione globale.

A questo calcola i limiti e qui mi perdo completamente.
$\exists \lim_{x \rightarrow -\infty} y(x)=l^{-} >1$ perché y'(x)<0

, quindi $y(x)>0 \forall x \in \mathbb{R}$
quindi
$\exists l^{+}=\lim_{x \rightarrow \infty}y(x) \in [0,1) \text{ e } y'(x) \overset{x\rightarrow\infty}{\rightarrow} -\frac{l^{+}}{1+e^{l^{+}}}=0 \Rightarrow l^{+}=0, l^{-}=+\infty$

Poi calcola la derivata seconda per trovare vedere il segno e la approssima non ho capito come.
$y''(x)=e^y \frac{(y-1)-1}{(1+e^y)^2} \sim -\frac{y^2}{(1+e^y)^2} <0 \text{ per } x\rightarrow -\infty (\text{oppure }y\rightarrow +\infty)$
quindi facendo il grafico della soluzione si vede che va da $-\infty \text{ a }+\infty$ passando per 1

Qualcuno riesce a spiegarmi cosa stiamo facendo e perché non posso trovare le soluzioni integrando per variabili separabili?

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Problema di Cauchy

[1] Problema di Cauchy

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