Rappresentazione dell'effetto pelle - rete a scala

[fpalone]

Scrivo questo thread su "istigazione" di Ianero , che in un altro thread parlava di "risvegliare la sezione di matematica", cogliendo l'occasione per "risvegliare" un problema che ho smesso di affrontare da qualche annetto.

Premessa:
per rappresentare in un ambiente di simulazione circuitale un conduttore cilindrico percorso da una corrente comunque variabile nel tempo, una strada (poco battuta) è quella di utilizzare l'approccio delle sezioni finite.
L'approccio alle sezioni finite (proposto da Bob Meredith) sfrutta la simmetria cilindrica di un conduttore di energia, dividendolo in "strati" con sezione di corona circolare.
A ciascuno strato è possibile associare un ramo ad L di una rete Cauer-1, come da figura sottostante.

il valore di ciascun elemento di ciascuno strato (Li ed Ri) possono essere calcolati integrando le equazioni di Maxwell in forma cilindrica come spiegato meglio qui.
Del resto l'impedenza di ingresso di una rete a scala è rappresentabile con uno sviluppo in frazioni continue, al pari del rapporto tra le funzioni di bessel , il quale costituisce il termine variabile con la frequenza dell'impedenza interna di un conduttore cilindrico.
Questo approccio ha tanti vantaggi, il maggiore dei quali è l'intrinseca stabilità numerica; molti modelli basati sul vector fitting tendono invece a divergere spesso e volentieri.
Inoltre, visto che ciascuno strato può essere fisicamente associato a due elementi della rete a scala, è possibile con alcuni semplici passaggi implementare anche non linearità (ad esempio materiali ferromagnetici) ed anisotropie (ad esempio conduttori bimetallici).
Diventa però importante, per l'accuratezza e l'efficienza computazionale del modello, scegliere bene la suddivisione in strati del conduttore, analogamente alla meshing in un'analisi FEM.
Intuitivamente, strati più esterni sono attraversati dalle frequenze più alte e quindi devono essere tanto più sottili quanto ci si avvicina alla superficie del conduttore.
Questo è l'approccio proposto da Meredith ed anche io (da buon laureando una decina di anni fa) ho seguito lo stesso ragionamento.
Alcuni anni dopo mi sono imbattuto in questo articolo di Kotiuga Fast impedance formulation and numerical computation associated with ratios of confluent hypergeometric functions.
in pratica, Kotiuga utilizza l'approssimante di Padé del rapporto delle funzioni di bessel , il quale costituisce il termine variabile con la frequenza dell'impedenza interna di un conduttore cilindrico.
Partendo dall'intorno della frequenza nulla (corrente continua) l'approccio proposto consente la realizzazione di una rete Cauer-2 i cui coefficienti sono calcolabili con straordinaria semplicità!

Purtroppo si perde (o perlomeno io non lo vedo più) il legame fisico tra ciascuno strato e degli specifici elementi della rete a scala, per cui non si può banalmente tenere in conto di effetti di anisotropia e linearità.

Venendo alla speranza per cui cerco conforto

E' possibile trovare un approccio per assegnare in forma chiusa i parametri della rete di tipo Cauer-1 in modo "duale" rispetto a quanto proposto da Kotiuga per la rete Cauer-2

[EdmondDantes]

L'argomento e' molto interessante.
Mi ricordo quando lo avevi chiesto la prima volta.

Altro 3D.
Speriamo di trovare una soluzione adesso!

[fpalone]

Lo spero EdmondDantes,
anche perché si è capito che io, dopo qualche anno, sono sempre fermo lì.