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Insiemi compatti

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Insiemi compatti

Messaggioda Foto UtenteIanero » 31 mag 2019, 8:25

Non capisco per quale motivo la dimostrazione (b) debba essere fatta con quel lungo discorso.
Non vedo neanche motivo per restringere (sempre per quanto riguarda la parte b) la cosa ai soli insiemi chiusi di \mathbb{R}^m.

Cattura.PNG


Se per ipotesi K è compatto, allora lo posso ricoprire con un numero finito di aperti. Dunque, qualunque sottoinsieme di K è a sua volta ricopribile con quella stessa famiglia finita di aperti. Fine.

No?
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[2] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 31 mag 2019, 9:30

Ianero ha scritto:Se per ipotesi K è compatto, allora lo posso ricoprire con un numero finito di aperti. Dunque, qualunque sottoinsieme di K è a sua volta ricopribile con quella stessa famiglia finita di aperti. Fine.


Di fatto è proprio quello che la dimostrazione dice :mrgreen:
Il punto della costruzione è (per quanto vedo io) rendere rigorosa la dimostrazione: l'argomentazione che proponi tu è corretta, ma non rigorosa, mentre la costruzione esplicita della copertura lo è ;-)
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[3] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto UtenteIanero » 31 mag 2019, 10:14

Non rigorosa? Ho solo scritto in italiano, invece che in matematica, che x\in F\subset K\Rightarrow x\in K.

wruggeri ha scritto:Di fatto è proprio quello che la dimostrazione dice :mrgreen:

No, la dimostrazione parte con una copertura di F, io invece con una copertura di K.
Inoltre, la mia non si limita a insiemi chiusi.
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[4] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 31 mag 2019, 10:35

Ianero ha scritto:Inoltre, la mia non si limita a insiemi chiusi.


La qual cosa, per quanto ne so, è un problema: \mathbb{R}^n è uno spazio di Hausdorff, quindi i suoi compatti sono necessariamente anche chiusi. Qui puoi vedere una dimostrazione (presa da questo libro) di quanto affermo come corollario del teorema di Wallace:
topo1.png


Per facilità di lettura, ti riporto anche l'enunciato del teorema suddetto:
topo2.png
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[5] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto UtenteIanero » 31 mag 2019, 12:28

Non so cosa voglia dire Hausdorff, ma non serve farla così complicata, sul fatto che i compatti di \mathbb{R}^n siano chiusi e limitati non ci piove, ma quella dimostrazione secondo me è comunque inutilmente complessa e anche limitante, perché quello specifico enunciato vale anche se F non è chiuso, perché è comunque un sottinsieme di K, il quale è compatto.
Forse sbaglio, ma per me si poteva dimostrare senza errori in un rigo, come in [1].

PS: il problema non è neanche "devi prima dimostrare di aver trovato una copertura di K, per poi ridurla a una famiglia finita", poiché trovare una copertura di K è banale, basta prendere l'unione degli intorni (qualsiasi) di ogni punto di K.
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[6] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto UtenteIanero » 1 giu 2019, 22:06

Uh, ho capito!
Mi ero perso un ‘per ogni’...
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[7] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 giu 2019, 8:47

Ragazzi... state dicendo una buona dose di inesattezze...
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[8] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 2 giu 2019, 10:04

Per questo mi son fermato, Foto UtentePietroBaima: io di topologia so qualcosa, ma poi finisco per interpretare troppo e dico cavolate :mrgreen:
Ti andrebbe di spiegarci un po' come stanno le cose? ;-)
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[9] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 2 giu 2019, 10:09

Voi state dimostrando per un caso specifico, mentre la dimostrazione si riferisce ad ogni insieme. E' molto diverso!
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Io capisco le cose per come le scrivete. Per esempio: K sono kelvin e non chilo, h.z è la costante di Planck per zepto o per la zeta di Riemann e l'inverso di una frequenza non si misura in siemens.
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[10] Re: Insiemi compatti

Messaggioda Foto Utentewruggeri » 2 giu 2019, 10:23

Temo di non capire :oops:
Rileggendo la discussione, non riesco a capire dove abbiamo ristretto il campo: il risultato proposto da Foto UtenteIanero parla di compatti in \mathbb{R}^n dicendo che sono chiusi e che in particolare tutti i sottoinsiemi di \mathbb{R}^n chiusi e contenuti in un compatto sono compatti a loro volta, e lui si chiedeva se fosse possibile estendere il tutto anche agli insiemi non chiusi, alla qual cosa io ho risposto notando che in spazi di Hausdorff - e dunque in particolare in \mathbb{R}^n - vale l'implicazione \textnormal{compatto} \rightarrow \textnormal{chiuso} in conseguenza del teorema di Wallace, e se fosse possibile semplificare la dimostrazione del risultato di cui all'inizio, alla qual cosa onestamente non me la son sentita di rispondere :mrgreen:
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