Insiemi compatti

[Ianero]

Non capisco per quale motivo la dimostrazione (b) debba essere fatta con quel lungo discorso.
Non vedo neanche motivo per restringere (sempre per quanto riguarda la parte b) la cosa ai soli insiemi chiusi di .

Se per ipotesi è compatto, allora lo posso ricoprire con un numero finito di aperti. Dunque, qualunque sottoinsieme di è a sua volta ricopribile con quella stessa famiglia finita di aperti. Fine.

No?

[rugweri]

Se per ipotesi è compatto, allora lo posso ricoprire con un numero finito di aperti. Dunque, qualunque sottoinsieme di è a sua volta ricopribile con quella stessa famiglia finita di aperti. Fine.

Di fatto è proprio quello che la dimostrazione dice
Il punto della costruzione è (per quanto vedo io) rendere rigorosa la dimostrazione: l'argomentazione che proponi tu è corretta, ma non rigorosa, mentre la costruzione esplicita della copertura lo è

[Ianero]

Non rigorosa? Ho solo scritto in italiano, invece che in matematica, che .

Di fatto è proprio quello che la dimostrazione dice

No, la dimostrazione parte con una copertura di , io invece con una copertura di .
Inoltre, la mia non si limita a insiemi chiusi.

[rugweri]

Inoltre, la mia non si limita a insiemi chiusi.

La qual cosa, per quanto ne so, è un problema: è uno spazio di Hausdorff, quindi i suoi compatti sono necessariamente anche chiusi. Qui puoi vedere una dimostrazione (presa da questo libro) di quanto affermo come corollario del teorema di Wallace:

Per facilità di lettura, ti riporto anche l'enunciato del teorema suddetto:

[Ianero]

Non so cosa voglia dire Hausdorff, ma non serve farla così complicata, sul fatto che i compatti di siano chiusi e limitati non ci piove, ma quella dimostrazione secondo me è comunque inutilmente complessa e anche limitante, perché quello specifico enunciato vale anche se non è chiuso, perché è comunque un sottinsieme di , il quale è compatto.
Forse sbaglio, ma per me si poteva dimostrare senza errori in un rigo, come in [1].

PS: il problema non è neanche "devi prima dimostrare di aver trovato una copertura di , per poi ridurla a una famiglia finita", poiché trovare una copertura di è banale, basta prendere l'unione degli intorni (qualsiasi) di ogni punto di .

[Ianero]

Uh, ho capito!
Mi ero perso un ‘per ogni’...

[PietroBaima]

Ragazzi... state dicendo una buona dose di inesattezze...

[rugweri]

Per questo mi son fermato, PietroBaima: io di topologia so qualcosa, ma poi finisco per interpretare troppo e dico cavolate
Ti andrebbe di spiegarci un po' come stanno le cose?

[PietroBaima]

Voi state dimostrando per un caso specifico, mentre la dimostrazione si riferisce ad ogni insieme. E' molto diverso!

[rugweri]

Temo di non capire
Rileggendo la discussione, non riesco a capire dove abbiamo ristretto il campo: il risultato proposto da Ianero parla di compatti in dicendo che sono chiusi e che in particolare tutti i sottoinsiemi di chiusi e contenuti in un compatto sono compatti a loro volta, e lui si chiedeva se fosse possibile estendere il tutto anche agli insiemi non chiusi, alla qual cosa io ho risposto notando che in spazi di Hausdorff - e dunque in particolare in - vale l'implicazione in conseguenza del teorema di Wallace, e se fosse possibile semplificare la dimostrazione del risultato di cui all'inizio, alla qual cosa onestamente non me la son sentita di rispondere