Polinomio di Taylor di un polinomio

[sebago]

Cercando di passare il tempo mi sono imbattuto in questo problemino:
data una funzione costituita da un polinomio intero di grado n, lo sviluppo di un Polinomio di Taylor di grado m>=n coincide con la funzione?
Io credevo di sì ma da qualche parte (che non ritrovo) ho letto che è vero solo se il centro dello sviluppo è zero.
Mi sembra strano assai.

[MarcoD]

se il centro dello sviluppo è zero.

Cosa è il centro dello sviluppo ?
Il quesito vale anche per la serie/polinomio di MacLaurin, che , se ben ricordo dopo mezzo secolo , dovrebbe essere un sottoinsieme sviluppato attorno all'origine?

[sebago]

il centro è il valore di (almeno credo)

[Ianero]

Anche se cambi il centro dello sviluppo non comprometti niente, il tuo presentimento era corretto.
Se vuoi dimostrarlo, usa il resto nella forma di Lagrange.

[admin]

Io credevo di sì

Ianero ti ha già risposto (e se vorrà ci farà vedere come si lavora con il resto di Lagrange )
Io non so effettuare la dimostrazione generale, ma ho provato in due casi particolari e direi, (per induzione?), che credevi bene

[rugweri]

Già ti hanno risposto admin e Ianero, quindi il mio contributo serve a poco... ma vorrei proporti una riflessione legata al suggerimento di Ianero, per completezza

Sviluppando in serie di Taylor un polinomio di grado (la qual cosa è sempre possibile), tutti i termini a partire dal termine contenente la derivata -esima del polinomio risultano nulli, per cui dobbiamo aver ottenuto una convergenza completa alla funzione usando solo i termini non nulli (che sono in numero finito). Formalmente, lo scarto tra la funzione originale e la sua serie troncata al k-esimo ordine è descritta con un qualche resto; come suggerito da Ianero, per i nostri scopi è particolarmente semplice utilizzare il resto in forma di Lagrange, che ha questa formula:



Dove è un opportuno punto in ; puoi notare immediatamente che nel caso di un polinomio di grado tutti i resti per sono identicamente nulli, ovvero la convergenza è totale e dunque la serie corrisponde esattamente al polinomio qualsiasi sia il punto scelto, e dunque qualsiasi sia il centro dello sviluppo

[sebago]

Grazie a tutti (sospiro di sollievo...!)
Ho trovato quella frase strana qui:
https://www.youmath.it/forum/sezione-speciale-per-i-topic-a-pagamento/91305-sviluppo-di-taylor-di-un-polinomio.html
Partendo da un caso simile al mio:

arrivava a questa conclusione sibillina:

Perché mai dovrebbe portare a un errore, visto che il grado dello sviluppo è uguale al grado del polinomio?
Ma forse ho capito male.

Già che ci siamo, pongo un altro quesito:
fatti tutti i bravi conticini, mi si chiede di valutare (ovvero la derivata prima della differenza tra il polinomio Q(x), di terzo grado, e lo sviluppo di Taylor, sempre di terzo grado.
Mi sembra ovvio che sia uguale a zero ma poi mi chiede di interpretare il risultato. Che altro posso dire oltre al fatto che tanto il polinomio quanto lo sviluppo presentano in x = 2 una tangente con lo stesso coefficiente angolare? La cosa peraltro mi pare assai banale, visto che le espressioni sono perfettamente uguali fra loro.

Di nuovo Grazie Mille a tutti.

P.S.: per favore, siate clementi e non chiedetemi perché - a ferragosto - mi sollazzo con queste cose anziché queste altre:

[Ianero]

Non ho scritto la dimostrazione nella mia risposta precedente non per svogliatezza, specialmente nei confronti di una persona come sebago, è che ero col telefono per strada, scusatemi
rugweri comunque ha già pensato a tutto, grazie!

Per il resto...

Perché mai dovrebbe portare a un errore, visto che il grado dello sviluppo è uguale al grado del polinomio?
Ma forse ho capito male.

Nessun errore, come dici.
Immagino che si riferisse al fatto che la richiesta del problema era trovare lo sviluppo: se semplifichi quella espressione torni al polinomio originale e non fai vedere di aver trovato lo sviluppo. Niente di sostanziale in ogni caso.

Già che ci siamo, pongo un altro quesito:
...

Neanche qui vedo molta sostanza, forse voleva farti dire ‘la differenza è sempre costante’


Comunque, se stai facendo questo tipo di esercizi per piacere personale e per rigiocare un po’ con i polinomi, posso darti qualcosa che penso ti potrà incuriosire

[sebago]

posso darti qualcosa che penso ti potrà incuriosire

Manda pure, grazie anticipate

[Ianero]

Ho trovato questo, la cui prima parte è proprio quello che chiedevi

Spero ti piaccia.