Una domanda sulla FFT.

[luigi_48]

Buona sera.
Da autodidatta ho studiato lo sviluppo in serie di Fourier e l'ho capito.
Ho studiato anche la trasformata discreta di Fourier (DFT) e anche questa, con un po' più di fatica, l'ho capita.
Poi ho voluto studiare la FFT. E qui per la verità ho capito pochino. Un buon tutor in Italiano su Youtube, ahimè, non l'ho trovato. Ma un particolare di questo studio proprio non l'ho né intuito, né capito: qui si parla di finestra Hanning, Hamming, Rectangle e Blackman.
Cosa si intende e cosa significano questi quattro termini?
Che utilità hanno?
Un grazie e un saluto a tutti.

[IsidoroKZ]

Bisognerebbe che conoscessi il prodotto di convoluzione, ma provo a spiegare (si fa per dire, in realta` e` una descrizione approssimativa) senza usarlo.

Una differenza fondamentale fra la trasformata di Fourier (TF) classica, quella fatta con l'integrale, e una trasformata numerica di Fourier (DFT), che puo` anche essere calcolata con l'algoritmo della FFT e` la seguente.

Nella TF il segnale puo` essere lungo quanto si vuole, anzi,se si prendono dei segnali sinusoidali, anche sommati fra di loro, questi sono infinitamente lunghi, e l'integrale della TF e` un integrale che parte da meno infinito a piu` infinito, non ci sono problemi.

I casini iniziano quando si vuole calcolare una trasformata numerica di fourier, in cui il segnale e` memorizzato in una serie di numeri. In questo caso e` evidente che il segnale non puo` avere una lunghezza infinita, non abbiamo abbastanza memoria. Prendiamo il segnale e lo tronchiamo, tagliamo via una parte iniziale e una finale e teniamo solo una fetta di segnale che proviamo a trasformare.

Sarebbe bello se la TF di tutto il segnale e la DFT di una fetta di segnale dessero lo stesso spettro.

Purtroppo questo non capita: quando tagliamo di netto un segnale, per farlo entrare ad esempio nei 4096 campioni della FFT, introduciamo degli artefatti, per cui lo spettro "vero" non viene piu` fuori dalla FFT. Puo` darsi che due righe vicine non siano piu` distinguibili, oppure che l'ampiezza della riga principale non abbia piu` l'ampiezza precisa, oppure che il livello di rumore di fondo salga o ancora che la riga principale si "larga" e non si riesca a determinarne bene la frequenza.

Tutti questi inconvenienti sono genericamente figli di un fenomeno che e` il leaking spettrale, che non provo neanche a descrivere In pratica l'energia di una singola frequenza al posto di essere indicata in un punto solo, si sparpaglia in parte anche su altre frequenze, falsandone la misura.

Il tutto e` dovuto al taglio "netto" fatto per far entrare il segnale nei campioni a disposizione.

Per evitare questi inconvenienti, al posto di dare un taglio netto, si puo` cominciare ad attenuare il segnale verso i due estremi dell'intervallo che trasformiamo. Ad esempio (MA e` solo un esempio) i primi cento campioni sono il segnale che lo facciamo partire da zero e "alziamo il volume" in modo che dal centesimo campione in avanti il segnale sia rappresentato esattamente com'e`. Alla fine dell'intervallo facciamo lo stesso, cento campioni prima della fine dell'intervallo cominciamo ad "abbassare il volume" gradualmente in modo da arrivare ad ampiezza nulla all'ultimo intervallo.

Quello che abbiamo fatto e` una "finestratura" per evitare gli artefatti di un taglio netto. Le varie finestrature si distinguono a seconda di come "limano" l'inizio e la fine del segnale nell'intervallo che sara`

trasformato. La finestra rettangolare e` quella in cui si fanno due tagli netti ha il vantaggio di riuscire a determinare con la massima precisione le frequenze delle righe, ma ha un leaking spaventoso e altri segnali piu` piccoli vengono coperti.

A seconda di che cosa si vuole misurare dallo spettro e del tipo di segnale che si trasforma si sceglie una finestra oppure un'altra. Ce ne sono alcune dozzine, quelle che hai citato sono solo quattro delle possibili. Quasi tutte derivano dal nome di chi le ha proposte. Alcune hanno doppio nome, nel senso che si possono trovare indicate in due modi diversi, e la finestra di Hanning ha il nome sbagliato. Il signor Hanning non e` esistito . Si tratta della finesta di Hann, che assomiglia alla finestra di Hamming, e qualcuno ha fatto un po' di confusione e chiamata la finestra di Hanning

[GioArca67]

Un paio di immagini

Il segnale A ha un numero intero di cicli all'interno della finestra di osservazione, la FFT è "pulita".

Segnale A e FFT

Il segnale B non ha un numero intero di cicli all'interno della finestra di osservazione, la FFT presenta "leakage" spettrale dovute ad alte frequenze (discontinuità) che rientrano per aliasing.

Segnale B e FFT

Se applichiamo una finestra possiamo migliorare la situazione, in generale a scapito di un allargamento dei picchi in frequenza dovuto alla conciliazione fra spettro del segnale e spettro della finestra (moltiplicare due segnali nel tempo corrisponde alla conciliazione dei loro spettri e viceversa).

Segnale B con finestra e FFT

Il lobo principale è allargato rispetto al primo caso.
Questa è una situazione ottima in cui la finestra ha raccordato perfettamente il segnale all'inizio ed alla fine, in genere non è così.

[GioArca67]

Qui un paragone fra le finestre Hanning (di Hann) e Hamming

E come appaiono spettri e andamenti temporali delle finestre Hanning e Flat Top

Hanning. FlatTop

La scelta della finestra è molto importante, ce ne sono molte ed ognuna ha punti di forza e di debolezza in relazione alla accuratezza dell'ampiezza spettrale, al contrasto del "leakage" spettrale, alla risoluzione in frequenza (capacità di distinguere righe vicine).

Ad es.
Blackman ha una scarsa attitudine alla risoluzione spettrale, ma un ottimo contrasto al leakage spettrale e un buon comportamento per la accuratezza in ampiezza.
Hanning ha una buona attitudine alla risoluzione spettrale, un buon contrasto al leakage spettrale e un discreto comportamento per la accuratezza in ampiezza.
Hamming una buona attitudine alla risoluzione spettrale, un discreto contrasto al leakage spettrale e un discreto comportamento per la accuratezza in ampiezza.

Quindi lo scopo di analisi è fondamentale per la scelta, ad es se vuoi distinguere due toni molto vicini e di pari ampiezza potrebbe essere utile non applicare finestratura (poiché tutte tendono ad allargare le righe spettrali che quindi potrebbero mescolarsi e mostrarsi come una sola), se invece i toni pur vicini hanno ampiezza diverse, potrebbe essere utile applicare una finestra di Kaiser Bessel.
Per la misura accurata dell'ampiezza spettrale di un singolo tono è indicata la Flat Top.
Se non sai che pesci pigliare -> Hanning

[GioArca67]

Nel post 3 il correttore s'è impazzito...
"a scapito di un allargamento dei picchi in frequenza dovuto alla conciliazione fra spettro del segnale e spettro della finestra (moltiplicare due segnali nel tempo corrisponde alla conciliazione dei loro spettri e viceversa)."
La conciliazione non c'entra nulla, è convoluzione ovviamente...
”a scapito di un allargamento dei picchi in frequenza dovuto alla convoluzione fra spettro del segnale e spettro della finestra (moltiplicare due segnali nel tempo corrisponde alla convoluzione dei loro spettri e viceversa)."