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Continuità funzione in due variabili definita per insiemi

Analisi, geometria, algebra, topologia...

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[1] Continuità funzione in due variabili definita per insiemi

Messaggioda Foto Utentequapakko » 6 gen 2022, 21:19

Dire se la seguente funzione è continua in (-1,0):
f(x,y)= e^{-\frac{1}{y-(x+1)^2}}* if *y<(x+1)^2
f(x,y)=0*altrimenti
Devo calcolare il limite
lim_{(x,y)->(-1,0)}e^{-\frac{1}{y-(x+1)^2}}
Sarei portato a dire subito che questo limite fa 0 (implicando la continuità) perché per (x,y)->(-1,0), y-(x+1)^2->0 e quindi e^{-\frac{1}{y-(x+1)^2}}->0
L'esercizio continua chiedendo di determinare, se esiste, la derivata direzionale lungo la direzione \bar v=(-\sqrt2/2,-\sqrt2/2) nel punto (0,-1). Io ho impostato il limite
lim_{t->0}\frac{e^{-\frac{1}{-t \sqrt 2/2-t^2/2}}}{t} che ancora una volta fa 0 . Continuo però a non capire se procedo bene sia per la continuità che per la derivata direzionale dato il modo in cui è definita la funzione.
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[2] Re: Continuità funzione in due variabili definita per insiem

Messaggioda Foto Utenteg.schgor » 8 gen 2022, 20:26

Sicuro dei dati?
Come fa una funzione esponenziale a diventare negativa?
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[3] Re: Continuità funzione in due variabili definita per insiem

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 8 gen 2022, 23:33

Calcola il limite facendo prima una sostituzione in modo che (x,y) tenda a (0,0) e poi passa in coordinate polari, facendo quindi tendere rho a zero.
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[4] Re: Continuità funzione in due variabili definita per insiem

Messaggioda Foto UtentePietroBaima » 8 gen 2022, 23:34

quapakko ha scritto:Continuo però a non capire se procedo bene sia per la continuità che per la derivata direzionale dato il modo in cui è definita la funzione.

direi proprio di no.
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[5] Re: Continuità funzione in due variabili definita per insiem

Messaggioda Foto UtenteGioArca67 » 9 gen 2022, 18:07

La continuità.

Diamo un'occhiata al dominio.
La funzione vale 0 ovunque risulti y>=(x+1)^2, cioè nella zona bianca più il bordo:
Dominio.PNG

mentre nella zona fucsia vale l'esponenziale "negativa".

Diamo però ora meglio un'occhiata al segno dell'esponente
se y<(x+1)^2 allora y-(x+1)^2<0 e quindi -1/(-|z|) >0 cioè l'esponente è sempre positivo
(- * - = +)
In tutto il campo di sua esistenza sopra il dominio fucsia essa è monotona e o va a 1 o va ad \infty.

Per la continuità della funzione in un punto nell'intorno dello stesso i limiti da tutte le direzioni devono coincidere, basta che trovi una direzione particolare per cui non avviene ed hai anche trovato la discontinuità.
Poiché nella zona bianca la funzione per definizione vale 0 allora su tutto il bordo y=(x+1)^2 vi è sicuramente una discontinuità in quanto il limite per una qualsiasi direzione dalla zona fucsia non sarà mai 0 (tutti i valori sono compresi fra 1 e \infty).

Al contrario in tutti gli altri punti non del bordo non può esserci discontinuità perché l'esponenziale è una funzione continua come lo è la funzione costante (0).

Il punto in esame (-1,0) appartiene al bordo, la funzione vale 0 per definizione, ma c'è almeno un punto adiacente in cui è diversa da zero e quindi c'è una discontinuità, senza nemmeno scomodare i limiti.

Passare in coordinate polari, anche se in generale corretto, la vedo una complicazione per il modo in cui è definita la funzione.

Il limite direzionale.

dato un vettore normalizzato v={v1,v2} la derivata direzionale è definita come

\frac{\partial f(x,y)}{\partial \textbf{v}}\doteq \displaystyle \lim_{ t \to 0} \frac{f(x+tv_1,y+tv_2)-f(x,y)}{t}

allora calcoliamo in (0,-1), se esiste, il

\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{e^{\frac{-1}{y-t\sqrt{2}/2-(x-t\sqrt{2}/2+1)^2}}-e^{\frac{-1}{y-(x+1)^2}}}{t}

ovvero

\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{e^{\frac{-1}{-1-t\sqrt{2}/2-(0-t\sqrt{2}/2+1)^2}}-e^{\frac{-1}{-1-(0+1)^2}}}{t} = \frac{0}{0}

che devi risolvere riportandolo ad una forma nota, ad es
\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

Metti in evidenza e^0.5 vedi cosa esce ad esponente e poi moltiplicando e dividendo tutto per \frac{1/\sqrt{2}-t/2}{4+t^2-2t/\sqrt{2}}

ottieni

\displaystyle \lim_{t \to 0} 
\frac{1/\sqrt{2}-t/2}{4+t^2-2t/\sqrt{2}}e^{1/2}
\frac{e^{\frac{t/\sqrt{2}-t^2/2}{4+t^2-2t/\sqrt{2}}}-e^{1/2}}{\frac{t/\sqrt{2}-t^2/2}{4+t^2-2t/\sqrt{2}}} = \frac{e^{1/2}}{4\sqrt{2}}

La stessa cosa la ottieni moltiplicando il gradiente della funzione nel punto (0,-1) per il vettore direzione assegnato: \nabla f(x_0,y_0) \cdot \textbf{v}

Ora \nabla f(x_0,y_0) la calcoli tu, sono 2 derivate parziali, per far vedere la tua buona volontà e impegno.
O_/
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