Duale Hodge di 2-forme su metrica di Minkowski

[IlGuru]

* Libro "A Visual Introduction to Differential Forms and Calculus on Manifolds" di Jon Pierre Fortney - ISBN 978-3-319-96991-6

A pagina 384 del capitolo 12.3 "Special Relativity and Hodge Duals" l'autore calcola i duali Hodge delle varie basi delle 2-forme e le elenca come segue:

∗(dt ∧ dx1) = −dx2 ∧ dx3
∗(dt ∧ dx2) = −dx3 ∧ dx1
∗(dt ∧ dx3) = −dx1 ∧ dx2
∗(dx1 ∧ dx2) = dt ∧ dx2
∗(dx2 ∧ dx3) = dt ∧ dx1
∗(dx3 ∧ dx1) = dt ∧ dx2

I segni - derivano dalla definizione del prodotto scalare tra le 2-forme.
Per l'ordinamento delle singole 1-forme all'interno delle basi non c'è problema, l'autore dice esplicitamente di usare come convenzione la ciclicità degli indici, quindi

Quello che non mi torna però è che se ad esempio prendo il duale del duale di una qualunque k-forma dovrei ritrovarmi con la k-forma stessa, mentre se eseguo questa prova su quelle sopra non mi ritrovo con i segni, ma non mi ci ritrovo nemmeno sostituendo le equazioni stesse.

Ad esempio se prendo la prima:
∗(dt ∧ dx1) = −dx2 ∧ dx3
Applico l'operatore Hodge sia a sinistra che a destra
∗∗(dt ∧ dx1) = ∗(−dx2 ∧ dx3)
Qui la linearità dell'operatore Hodge mi permette di portare fuori il -1 dalla parentesi di destra
dt ∧ dx1 = −(∗dx2 ∧ dx3)
Prendo la definizione di ∗dx2 ∧ dx3 da quelle ricavate sopra e ottengo:
dt ∧ dx1 = −(dt ∧ dx1)

Dov'è che sbaglio nel mio ragionamento?