ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **ziomangrovia** » 7 lug 2025, 16:56

Salve,
vi riporto alcuni appunti che ha scritto un professore per il calcolo della potenza media di un segnale cosinusoidale dove non mi torna un passaggio.
Dato il segnale:
$x(t)=A \cos(2 \pi f_0 t + \varphi)$

f_0

: frequenza del segnale
$\varphi$ : fase del segnale

: periodo del segnale

: Ampiezza del segnale

$P_{x_t} \triangleq \frac{E_{xt}}{T}$
$P_x = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{E_{xt}}{T} = \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} |x(t)|^2dt$
nello specifico:

$P_x=\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}A^2\cos^2(2 \pi f_0 t + \varphi)dt$

$P_x=\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{1}{T} \left[ \frac{A^2}{2}T + \frac{A^2}{2}\int_{-T/2}^{T/2}\cos(4 \pi f_0 t + 2 \varphi)dt \right]$

$P_x=\lim_{T\rightarrow \infty} \frac{A^2}{2} + \lim_{T\rightarrow \infty} \frac{K}{T} = \frac{A^2}{2}$

dove

$\frac{-A^2}{2} \frac{1}{4 \pi f_0} <= K <= \frac{A^2}{2} \frac{1}{4 \pi f_0}$

DUBBI e mi considerazioni:

Questo componente $\int_{-T/2}^{T/2}\cos(4 \pi f_0 t + 2 \varphi)dt$ non dovrei già dedurre
essere zero in quanto è integrata nel periodo cioè tra -T/2 e T/2 ed essendo funzione periodica ( $\cos(x)$ ) ?

Se lasciassi perdere questo ragionamento della funzione periodica e
calcolassi l'integrale $\int_{-T/2}^{T/2}\cos(4 \pi f_0 t + 2 \varphi)dt$
verrebbe:

$\left[\frac{1}{4 \pi f_0}\sin(4 \pi f_0 t + 2 \varphi) \right]_{-T/2}^{T/2} =$
$\frac{1}{4 \pi f_0} \left[ \sin(2 \pi f_0 T + 2 \varphi) - sin(-2 \pi f_0 T + 2 \varphi) \right] =$

dato che $f_0=\frac{1}{T}$ e che
$sin(2 \pi+\alpha)=sin(\alpha)$
$sin(-2 \pi+\alpha)=sin(\alpha)$

$\frac{1}{4 \pi f_0} \left[ \sin(2 \pi + 2 \varphi) - sin(-2 \pi + 2 \varphi) \right] =$
$\frac{1}{4 \pi f_0} \sin(2 \varphi) - \sin(2 \varphi)$ = 0

Quindi non capisco il range di valori assegnati alla costante K

da **EnricoMigliore** » 10 lug 2025, 9:28

Ciao,

Punto 1:
L'integrale definito che hai calcolato tra -T/2 e +T/2 potrebbe non essere formalmente corretto quando c'e' di mezzo l'operazione di limite per T che tende all'infinito.

Punto 2:
Il vincolo su K che il tuo professore ha indicato nasce probabilmente per il seguente motivo:

K e' proporzionale ad A^2*T cioe' all'energia del segnale nel periodo T.

Al tendere di T all'infinito il segnale non e' piu' periodico e il professore chiede che l'energia A^2*T su T sia limitata e non infinita. Ecco perche' nasce il vincolo su A^2 per T.

Ciao

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