spiegazioni su un esercizio di elettrostatica

[fisica]

All'interno di un parallelepipedo, di altezza h=10 m e sezione di dimensioni lineari molto grandi rispetto ad h, è distribuita una carica Q. Esso poggia su un piano conduttore carico negativamente così che all'interno del parallelepipedo il campo elettrico nei punti lontani dai bordi risulta diretto nel verso negativo dell'asse Z ed il suo modulo si riduce linearmente al crescere di z passando dal valore E_1=100 V/m in corrispondenza della base inferiore al valore E_2= 60 V/m su quella superiore. Calcolare:
a) la densità spaziale di carica ad una generica altezza z dalla base inferiore;
b) la densità superficiale di carica negativa presente sul piano conduttore;
c) l'energia elettrostatica contenuta in uno strato di sezione A= 10 cm^2, compreso tra z_1=1 m e z_2=2 m.

ciò che non mi è chiaro è il punto b), ovvero come si calcola la densità superficiale di carica negativa presente sul piano conduttore.
Nella soluzione c'è scritto che la densità superficiale di carica σ = -ε_o*E_1.
Questa formula dipende dal fatto che il piano è conduttore e quindi per il teorema di Gauss sciegliendo un cilindro avente una base all'interno del piano conduttore e l'altra base all'esterno del piano risulta questa formula?
Secondo voi è questo il motivo oppure c'è un'altra spiegazione?

[IsidoroKZ]

Un piano molto grande con una densita` di carica uniforme genera un campo costante perpendicolare al piano. Il parallelepipedo che c'e` sopra riduce linearmente il campo con la sua carica distribuita nel volume (teorema di Poisson).

Il campo generato dal piano c'e` solo sul piano, appena ti alzi il campo si riduce. Il campo E2 e` generato dalla carica superficiale, che si calcola con Gauss, come dicevi prima.

E` una mia impressione o questo problema l'ho gia` visto?

[fisica]

hai ragione l'ho già scritto un'altra volta questo esercizio
scusate se ho ripostato di nuovo lo stesso esercizio, mi ero dimenticato di averlo già postato.
Comunque non so cosa sia il teorema di Poisson di cui parli.
Poi sul piano conduttore dovrebbe agire il campo E_1 non E_2, o mi sbaglio io?

[IsidoroKZ]

Hai ragione, campo E1, avevo visto male dalla figura. L'equazione unidimensionale di Poisson dice che . Senza fare il giro da Poisson, si puo` partire direttamente dalle equazione di Maxwell, divergenza di E e si ha la stessa relazione di prima.

[fisica]

ok però quella che dici tu è l'equazione della divergenza che si utilizza nel punto a) per determinare la densità di carica presente nel parallelepipedo.
Ma per quanto riguarda σ qual è il ragionamento da fare? Nella soluzione del libro da per scontato che σ = -ε_o*E_1 però io vorrei capire da quale ragionamento viene questa formula

[IsidoroKZ]

Cilindretto che include il foglio di carica bidimensionale. Se la densita` di carica ha estensione infinita, per simmetria il campo puo` solo essere perpendicolare alla distribuzione di carica.

Con un cilindretto hai che il campo e` parallelo alle generatrici e quindi la superficie laterale non entra nel calcolo della divergenza, entrano solo le basi e quindi

Se consideri la distribuzione di carica sopra un piano metallico ideale, e una delle due basi la metti dentro al metallo, hai che quella base non e` attraversata da campo e quindi il campo "sopra" al metallo vale . Sull'altra faccia del metallo ci deve essere un'altra distribuzione di carica, ma quello fa parte di un altro universo che, stando "sopra" alla superficie che stai considerando, non vedi.

[fisica]

ok quindi è come avevo detto prima, grazie