Modello di Stato ( Fondamenti di Automatica )

[Corde87]

Salve a tutti, scrivo in questa sezione perché mi sembra la più giusta. Se ho sbagliato perdonatemi e spostate pure il post.

Spero di esporre chiaramente il mio problema di comprensione del MODELLO DI STATO di un sistema dinamico lineare - tempo invariante.

Un sistema dinamico LTI del tipo :

(1)

può essere descritto dalle seguenti equazioni :




e

(2)

Il quesito è questo:

Non ho ben compreso il criterio con cui è possibile valutare le matrici A,B,C,D data la funzione G(S) nella forma (1), per far si che l'equazione (2) sia equivalente.
Dato che il professorre ha detto che vi sono infinite varianti che esse possono assumere.

Un esempio che ho sul quaderno è questo:







In altre pagine del quaderno vedo però che le matrici hanno le stesse componenti interne però disposte in maniera differente.Spero di essere stato chiaro.

Grazie delle risposte.

[RenzoDF]

La rappresentazione come hai detto tu, non è unica, ma ne esistono infinite; normalmente le scelte sono due, ... le piu' semplici ovviamente

Faccio un esempio di "terzo grado"

a) quella che hai indicato tu

z1.gif (12.24 KiB) Osservato 6096 volte

b) quest'altra, equivalente

z2.gif (11.1 KiB) Osservato 6094 volte

che pero' valgono solo se D=b0=0.

Se b0 diverso da zero, allora D=b0 ma B dovrebbe essere modificata come segue

z3.gif (14.02 KiB) Osservato 6093 volte

... e parimenti il vettore riga C nella seconda versione della rappresentazione.

[RenzoDF]

Tanto per farti un esempio di scelta alternativa alle suddette due forme classiche di trasformazione, usiamo Scilab; partiamo inserendo le matrici del sistema facciamo calcolare la FDT relativa e poi facciamo l'operazione inversa chiedendo al sofrware di ricalcolarci le matrici A B C e D

Codice: Seleziona tutto

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              Consortium Scilab (INRIA, ENPC)
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Startup execution:
  loading initial environment

-->A=[0 1;-12 -7]
A  =

    0.     1.
  - 12.  - 7.

-->B=[0;1]
B  =

    0.
    1.

-->C=[2 1]
C  =

    2.    1.

-->D=1
D  =

    1.

-->SL=syslin('c',A,B,C,D)
SL  =


       SL(1)   (state-space system:)

!lss  A  B  C  D  X0  dt  !

       SL(2) = A matrix =

    0.     1.
  - 12.  - 7.

       SL(3) = B matrix =

    0.
    1.

       SL(4) = C matrix =

    2.    1.

       SL(5) = D matrix =

    1.

       SL(6) = X0 (initial state) =

    0.
    0.

       SL(7) = Time domain =

c

-->HS=ss2tf(SL)
HS  =

               2
    14 + 8s + s
    -----------
               2
    12 + 7s + s

-->tf2ss(HS)
ans  =


       ans(1)   (state-space system:)

!lss  A  B  C  D  X0  dt  !

       ans(2) = A matrix =

  - 5.0384615  - 0.1923077
    11.007692  - 1.9615385

       ans(3) = B matrix =

  - 1.6984156
    0.3396831

       ans(4) = C matrix =

  - 0.5887841    6.939D-17

       ans(5) = D matrix =

    1.

       ans(6) = X0 (initial state) =

    0.
    0.

       ans(7) = Time domain =

c

-->ss2tf(ans)
ans  =

               2
    14 + 8s + s
    -----------
               2
    12 + 7s + s

-->               

come vedi Scilab fa "a modo suo" ... mentre la "nostra" scelta poteva essere ancora diversa

x1.gif (22.06 KiB) Osservato 6048 volte

In buona sostanza tutto si basa sul fatto che un sistema lineare (tempo invariante) puo' essere descritto da diversi gruppi di matrici, in quanto dipende dal sistema di "coordinate" scelto per lo spazio degli stati; la nuova descrizione puo' essere ottenuta con una trasformazione del tipo x*=Tx che porta ad una diversa "forma" ma corrisponde alla stessa "sostanza" fisica

[Corde87]

Ti ringrazio molto del tuo aiuto Renzo.

Posso aggiungere un'altra domanda, magari stupida?
A livello fisico, le matrici cosa significano? perché io so che la matrice D è quella che legata alla causalità del sistema. Il significato delle altre mi è un po' meno chiaro anche se magari intuisco qualcosa.

Grazie della disponibilità e scusate l'ignoranza :)

[rusty]

Se posso permettermi dico qualcosa. Le forme introdotte da Renzo hanno un nome specifico, sono la "Forma compagna osservabile" e la "Forma compagna controllabile", nel caso volessi approfondire.
La matrice A indica la struttura del sistema, da' informazione su come gli elementi che formano il sistema sono interconnessi fisicamente tra loro. La matrice B indica il legame dell'ingresso (o degli ingressi in sistemi multivariabili) con lo stato, ovvero come gli ingressi siano in grado di modificare gli stati del sistema (l'energia interna), e da questa matrice, unita alla matrice A di struttura, si può valutare la controllabilità del sistema.
La matrice C indica il legame tra lo stato interno del sistema e l'uscita (o le uscite se ce ne sono più di una), da questa matrice infatti si può dedurre, assieme alla matrice di struttura A, l'osservabilità del sistema, o degli stati. La controllabilità e l'osservabilità sono due proprietà dei sistemi in generale molto importanti e da verificare. Ci sarebbe molto da scrivere a proposito di queste.
Infine la matrice D come hai detto indica la causalità del sistema, ed anche che legame algebrico c'è tra ingresso/i ed uscita/e, infatti in un sistema puramente dissipativo, che quindi NON ha stati, è l'unica matrice esistente ed è pari al legame ingresso/uscita (esempio V = RI, se V è l'uscita e I l'ingresso, la matrice D è pari a [R] unidimensionale).

Saluti

[Corde87]

È chiaro! Grazie mille per le vostre risposte :)))

Un saluto a tutto il forum