quante dita ha il marziano

[bu508]

piccolo giochetto per verificare la vostra abilita matematica, Supponiate che un giorno riusciate a contattare un marziano e gli proponiate di risolvere una semplice equazione:
x2 - 16 x + 41 = 0
Se lui vi dicesse che la differenza delle radici vale 10, quante dita avrebbe il marziano?

[Berello]

Per gli indovinelli è stata creata da poco una sezione apposita del forum!
Se avessi inviato lì il quesito, avresti avuto sicuramente più attenzione!

Scrivo qui la mia soluzione:
L'equazione proposta dal marziano è:

Questo mi fa intanto capire che lui ha almeno 7 dita, altrimenti non avrebbe potuto rappresentare la cifra 6.
Suppongo che le sue dita siano esattamente b (numero incognito); allora l'equazione diventa:

Risolvendola, ottengo:

da cui si vede che la differenza tra le due radici è


Ma il marziano ci ha lasciato scritto che questo valore è uguale a 10 (per lui! Ma per noi sarà uguale a b, cioè il suo numero di dita).

Scriviamo l'uguaglianza e risolviamo i calcoli:








Quindi il marziano dovrebbe avere 8 dita e le radici della sua equazione sono 11 e 3 per noi, 13 e 3 per lui!
E' così?

[RenzoDF]

direi che cosi' è piu' semplice


e quindi

[Berello]

E più veloce!

bu508, tu che metodi conosci per risolverlo? Che metodo hai usato?

[lucbie]

E più elegante!

[bu508]

bravi bravi........... una soluzioni per i meno bravi e per far comprendere



ha 8 dita. Il gioco sta nel capire che il numero di dita del marziano equivale alla base del suo sistema di numerazione, e quindi si tratta di individuare dai dati forniti qual è la base B esprimendo con la quale i numeri si riesce a fare tornare i conti. Inannzitutto possiamo dire che si tratta di una base maggiore di 6 visto che la cifra 6 compare nell'equazione.
Facciamo prima un piccolissimo richiamo sulle equazioni di 2° grado. Supponendo che le radici di un equzione siano a e b e che il coefficiente di x2 nell'equazione sia unitario, l'equazione può essere riscritte in questo modo:
(x - a) (x - b)=0
cioè:
x2 - (a + b) x + a b = 0
ovvero si ha che il coefficiente di x è uguale alla somma delle radici cambiata di segno e il termine noto è il prodotto delle due radici. A questo punto, visto che conosciamo i coefficienti dell'equazione possiamo scrivere (denotando con B la base di numerazione del marziano espressa in base 10 e supponendo a>b ):
a + b = (16)B = (B + 6)10
a b = (41)B = (4B + 1)10
a - b = (10)B = (B)10
da cui ricaviamo:
a = (3)10
b = (B+3)10
a b = [3 (B + 3)]10 = [4 B + 1]10
B = 8
Possiamo verificare che riscrivendo tutto in base 10 si ha:
x2 - 14 x + 33 = 0
le cui radici sono x=3 e x=11.

[Berello]

Grazie!
Bell'indovinello!