Serie di potenze

[samuele9999]

Ciao a tutti...
Sono uno studente e sto facendo una tesina sulla realizzazione di algoritmi per funzioni non lineari (seno, coseno, logaritmo)... per fare quest'ultimi ho usato taylor e vorrei scrivere qualcosina senza troppe formule e dimostrazioni sulla serie di funzioni e di potenze... poche righe ma chiare! Su internet ho trovato molta documentazione a riguardo ma sono spiegate per pagine e pagine... io purtroppo non ho la capacita di sintetizzare un argomento cosi complesso (ho 5 in italiano con un calcio nel sedere!) e vorrei chiedere se qualcuno di voi può aiutarmi! Detta cosi sembra che voglio la pappa pronta e di questo mi dispiace ... spero che qualcuno mi capisca e abbia compassione di me ...

[g.schgor]

... poche righe ma chiare!

Non e' facile, o meglio si tratta di vedere da dove si vuol partire.
Se si da gia' per scontata la serie di MacLaurin, allora le trasformazioni
delle funzioni trascendenti in serie di potenze e' quasi immediata.
Vedi ad es. http://www.ripmat.it/mate/c/cj/cjg.html

Diverso e' il discorso se si vuole anche dimostare da dove viene
la serie di MacLaurin, con tutti i vari passaggi (e questo non puo'
essere concentrato in poche righe!)
Per convincertene, prova ad andare a ritroso dal riferimento
dato sopra (freccia rossa verso sinistra, almeno fino a
"Introduzione alla formula di Taylor " che pero' a sua volta
da gia' per scontato il teorema di Lagrange, e cosi' via).

[samuele9999]

ho capito... allora cerco di essere più esplicito..

io ho usato delle formule di taylor per la costruzione di alcune funzioni in alcuni software costruiti da me... solo che taylor è un argomento che non abbiamo trattato a scuola... percio io non volevo mettere nella tesina pagine e pagine di regole e dimostrazioni per spiegare cosa è taylor...

ho capito che per spiegare taylor bisogna prima di tutto cosa sono le derivate e le serie (e su questa roba ho la nausea da quanto ne abbiamo studiato!) quindi do tutto per scontato...

poi bisogna sapere (essenzialmente) cosa sono le serie di funzioni e le serie di potenze... io ho capito che si usano di piu le serie di potenze perche sono piu comode e hanno alcuni vantaggi rispetto le altre..se non sbaglio era soprattutto una questione di convergenza, cioè le nelle serie di funzioni non si conosce la convergenza immediatamente mentre nelle serie di potenze dato un punto x si puo sapere subito qual'e il campo di convergenza...

ecco a me interessava mettere come prerequisiti teorici le serie di potenze
e di funzioni riassumendo quali sono i punti chiave da ricordarsi, cioè i vantaggi e svantaggi nell'utilizzo di uno o dell'altra.

poi detto questo dicevo che taylor era una variante delle serie di potenze e che è il metodo più utilizzato in analisi matematica per convertire una funzione non lineare in polinomi...

poi io ho capito che mac-laurin e uguale taylor e che si dice serie di mac-laurin per indiacre la serie di taylor con il punto di convergenza x0=0...

poi per ultimo facevo una dimostrazione con formule e grafici di come si trova il coseno applicando taylor..

Io non sono sicuro che di tutto quello che ho detto sia giusto.. quindi se sbaglio e/o trascurato qualcosa di importante, corregetemi ( anche errori di grammatrica )...

[g.schgor]

Non mi e' chiaro cosa intendi per "serie di funzioni".
Prima dell'avvento del calcolo elettronico per calcolare ad es.
cos(x), si doveva ricorrere a tabelle precalcolate, quindi
cercarne il valore corrispondente ad un dato x.
Le serie di potenze (ricavate da Mac Laurin) forniscono invece
gli algoritmi per calcolare direttamente il valore delle funzioni
trascendenti una volta venga impostato x.

Quindi semmai dovresti spiegare il concetto dell'aumento finito
che sta alla base dello sviluppo in serie (formula di Taylor,
da cui deriva la serie di MacLaurin ponendo c=0 e h=x).