ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Vibia** » 14 mar 2013, 19:50

mapi io mi trovo con la derivata e come ero portato a pensare c'è una parte forzata che tra l'altro coincide con la tensione v_c

che mi sono calcolato studiando la rete a regime per t>0

In qualche post precedente ho scritto solo il fasore e avevo dimenticato di portarmelo nel dominio del tempo

da **mapi** » 14 mar 2013, 20:08

Vibia, infatti io credo che sia la soluzione giusta :ok:

Ciao

da **RenzoDF** » 14 mar 2013, 20:21

Ok per le condizioni iniziali e ok anche per la soluzione particolare per la iL ma non quella per la vC dove ti sei dimenticato della dipendenza temporale ;-)

Per quanto riguarda la soluzione direi che forse potrebbe essere la seguente

${{i}_{L}}(t)=2\sin \left( 100t \right)+\frac{\left( \sqrt{21}+7 \right)}{14}\,\,{{e}^{\left( 50\sqrt{21}-250 \right)t}}-\frac{\left( \sqrt{21}-7 \right)}{14}\,\,{{e}^{\left( -50\sqrt{21}-250 \right)t}}$

non capisco però perché tu non voglia lasciare accesi i generatori forzanti nel circuito resistivo associato, forzanti che devono comparire nelle equazioni di stato e che ti permetterebbero di ricavare la soluzione particolare dalla stessa equazione differenziale completa.

da **Vibia** » 14 mar 2013, 20:45

RenzoDF grazie per la risposta...

Io spengo i generatori perche quando devo scrivere l'equazione di stato mi risulta più facile procedere in quel modo in quanto faccio meno errori di quanti ne potrei fare con i generatori attivati...

Ora ti chiedo...non c'è un modo per poter scrivere la v_c

senza che debba per forza scrivere l'equazione differenziale completa?

riguardo alla i_l

provo a ricalcolarla per vedere se mi trovo con i valori....

da **RenzoDF** » 14 mar 2013, 21:55

Vibia ha scritto: ... Io spengo i generatori perche quando devo scrivere l'equazione di stato mi risulta più facile procedere in quel modo in quanto faccio meno errori di quanti ne potrei fare con i generatori attivati...

Non capisco il problema, in questo caso avresti solo un GIC in più da sovrapporre; dal circuito resistivo associato in forma completa

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

penso non avresti difficoltà a scrivere le due equazioni di stato ricavandole dalla sovrapposizione per vL e iC

$\left\{ \begin{align} & {{i}_{C}}=-\frac{{{v}_{C}}}{R}-{{i}_{L}}+J(t) \\ & {{v}_{L}}={{v}_{C}} \\ \end{align} \right.$

dove, come puoi vedere, ci sarebbe solo il contributo di J(t) in più, rispetto alle tue (dove ti sei dimenticato la iL per stada) ;-)

Vibia ha scritto:... Ora ti chiedo...non c'è un modo per poter scrivere la senza che debba per forza scrivere l'equazione differenziale completa?...

Volendo ricavarti l'equazione differenziale per vC non devi far altro che sostituire alla iL nella prima equazione del sistema la sua espressione in funzione di vL ovvero della vC, visto che per la seconda equazione sono uguali , che poi, se non vuoi considerare la forzante J(t), porterà a

$C\frac{\text{d}{{v}_{C}}}{\text{d}t}=-\frac{{{v}_{C}}}{R}-\left( {{i}_{L}}(0)+\frac{1}{L}\int_{0}^{t}{{{v}_{C}}}\,\text{dt} \right)$

e quindi derivando a

$C\frac{{{\text{d}}^{2}}{{v}_{C}}}{\text{d}{{t}^{2}}}+\frac{1}{R}\frac{\text{d}{{v}_{C}}}{\text{d}t}+\frac{1}{L}{{v}_{C}}=0$

ma puoi tranquillamente ricavartela anche dalla soluzione della iL(t) via derivazione e prodotto per L dato che vC=vL.

Per quanto riguarda i valori iniziali, nel caso si cerchi soluzione all'equazione differenziale in iL, avremo che

$\left\{ \begin{align} & {{i}_{L}}(0)=1 \\ & i_{L}^{\prime}(0)=\frac{{{v}_{L}}(0)}{L}=\frac{{{v}_{C}}(0)}{L}=100 \\ \end{align} \right.$

mentre, nel caso si cerchi soluzione a quella in vC, si useranno i seguenti

$\left\{ \begin{align} & {{v}_{C}}(0)=100 \\ & v_{C}^{\prime}(0)=\frac{{{i}_{C}}(0)}{C}=\frac{1}{C}\left( -\frac{{{v}_{C}}(0)}{R}-{{i}_{L}}(0)+J(0) \right)=40\times {{10}^{3}} \\ \end{align} \right.$

BTW per la tensione su C la soluzione dovrebbe essere la seguente

${{v}_{C}}(t)=200\cos \left( 100t \right)+\frac{\left( 50\sqrt{21}-350 \right)}{7}\,\,{{e}^{\left( 50\sqrt{21}-250 \right)t}}-\frac{\left( 50\sqrt{21}+350 \right)}{7}\,\,{{e}^{\left( -50\sqrt{21}-250 \right)t}}$

da **Vibia** » 15 mar 2013, 20:53

RenzoDF grazie per la risposta!

Però vorrei chiederti se puoi gentilmente spiegarmi come hai fatto a calcolarti ${i}'_L$ e ${v}'_c$

da **RenzoDF** » 15 mar 2013, 20:58

Per $i_L^\prime(0+)$ e $v_C^\prime(0+)$ (il "

" in [15] era sottinteso), ho usato le due equazioni

$\left\{ \begin{align} & {{i}_{C}}=-\frac{{{v}_{C}}}{R}-{{i}_{L}}+J(t) \\ & {{v}_{L}}={{v}_{C}} \\ \end{align} \right.$

associate alle equazioni costitutive del bipolo induttore e condensatore

$\left\{ \begin{align} & {{v}_{L}}=L\frac{\text{d}{{i}_{L}}}{\text{d}t} \\ & {{i}_{C}}=C\frac{\text{d}{{v}_{C}}}{\text{d}t} \\ \end{align} \right.$

per ricavare il valore iniziale di $i_L^\prime(0+)$ e di $v_C^\prime(0+)$ in funzione dei valori assunti per t=0 dalle due variabili di stato, ovvero di i_L(0)

e

che sono le uniche che non possono presentare discontinuità nel passaggio fra t=0- e t=0+.

Per la derivata della corrente nell'induttore,

${{\left. \frac{\text{d}{{i}_{L}}}{\text{d}t} \right|}_{t=0+}}=\frac{1}{L}{{v}_{L}}(0+)=\frac{1}{L}{{v}_{C}}(0+)=\frac{1}{L}{{v}_{C}}(0-)=\frac{100\text{V}}{1\text{H}}=100\,\frac{\text{A}}{\text{s}}$

mentre per la derivata della tensione sul condensatore

$\begin{align} & {{\left. \frac{\text{d}{{v}_{C}}}{\text{d}t} \right|}_{t=0+}}=\frac{1}{C}{{i}_{C}}(0+)=\frac{1}{C}\left( -\frac{{{v}_{C}}(0+)}{R}-{{i}_{L}}(0+)+J(0+) \right) \\ & =\frac{1}{C}\left( -\frac{{{v}_{C}}(0-)}{R}-{{i}_{L}}(0-)+J(0+) \right) \\ & =\frac{1}{100\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ F}}\left( -\frac{100\text{V}}{20\Omega }-1\text{A}+10\text{A} \right)=40\,\frac{\text{kV}}{\text{s}} \\ \end{align}$

----------------------------------------

BTW Per l'apice usa

\prime come esponente

Codice: Seleziona tutto: i_L^\prime

per ottenere

$i_L^\prime$

ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[11] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[12] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[13] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[14] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[15] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[16] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

[17] Re: Determinazione costanti circuito del secondo ordine

Chi c’è in linea

Informazioni

Seguici

Pubblicità

Credits