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da **ginofr** » 19 lug 2013, 11:50

grazie!

da **ginofr** » 19 lug 2013, 12:05

Ummm per cosa sta n?

da **sedetiam** » 19 lug 2013, 12:44

$\,$
Ummm ... mi viene il dubbio che i post precedenti tu non li abbia nemmeno letti ... ;-)

al post [38] di

carloc c'è un disegno che fuga ogni ragionevole dubbio a riguardo.

O_/

da **carloc** » 19 lug 2013, 22:55

Ok diamogli il colpo di grazia

...

eravamo giunti alla conclusione che

$v_\text{out}(k+1)=\frac{C_1}{C_1+C_2}V_\text{M}+\frac{C_2}{C_1+C_2}v_\text{out}(k)$

ma questa ci va un po' stretta, che rispondere alla prima domanda che mi viene in mente "Ma converge?... a che valore tende?" mi pare già poco intuitivo.
Per non dire che per rispondere alla seconda domanda che mi viene in mente "Ma se converge quanto tempo ci mette ad arrivare entro una certa distanza dal limite?" già mi vedo impelagato in pile di conti....

Allora, quella formula descrive il passaggio dal periodo k al k+1 invece la stessa scritta con indici diversi

$v_\text{out}(k+2)=\frac{C_1}{C_1+C_2}V_\text{M}+\frac{C_2}{C_1+C_2}v_\text{out}(k+1)$

descrive il passo successivo, se facessi la differenza membro a membro e definissi $\Delta v_\text{out}(k)=v_\text{out}(k)-v_\text{out}(k-1)$ otterrei

$\Delta v_\text{out}(k+2)=\frac{C_2}{C_1+C_2}\Delta v_\text{out}(k+1)$

e visto che
$\Delta v_\text{out}(1)=v_\text{out}(1)=\frac{C_1}{C_1+C_2}V_\text{M}$

avrei
$\Delta v_\text{out}(2)=\frac{C_1}{C_1+C_2} \left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right) V_\text{M}\text{ ; } \Delta v_\text{out}(3)=\frac{C_1}{C_1+C_2} \left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)^2 V_\text{M}\text{ ; ...}$

insomma
$\Delta v_\text{out}(k)=\frac{C_1}{C_1+C_2} \left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)^{k-1} V_\text{M}$

toh... una successione geometrica

, e se poi ri-sommo tutte le variazioni ottengo l'uscita...
$v_\text{out}(k)=\sum_{n=1}^{k} \Delta v_\text{out}(n)=\frac{C_1}{C_1+C_2}V_\text{M}\sum_{n=0}^{k-1} \left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)^n$

ora fortunatamente alcune cosette di questa successione e la relativa serie sono note

...

intanto converge per ogni argomento strettamente minore di uno in modulo.... e quel rapporto di condensatori lo è sempre :ok:

poi anche l'espressione delle somme parziali è nota e quindi
$v_\text{out}(k)=\frac{C_1}{C_1+C_2}V_\text{M}\frac{1-\left(\frac{C_2}{C_1+C_2}\right)^{k-1+1}}{1-\frac{C_2}{C_1+C_2}}=\left [1-\left (\frac{C_1+C_2}{C_2}\right )^{-k}\right ]V_\text{M}$

che è nient'altro che una forma più generale di quella postata da

sedetiam

nonché -finalmente- l'espressione analitica non ricorsiva dell'uscita

mmmm ma perché mai ho "rovesciato" la frazione e cambiato segno all'esponente?? :-)

non è che "somiglia" alla carica esponenziale di un condensatore?
$v(t)=\left(1-\text{e}^{-t/\tau}\right)V_\text{M}$

in effetti

$\left(\frac{C_1+C_2}{C_2}\right)^{-k}=a^{-k}=\text{e}^{\ln a^{-k}}=\text{e}^{-k\,\ln a}=\text{e}^{-k/\chi} \qquad \text{con}\qquad \chi=\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{\ln\left(\frac{C_1+C_2}{C_2}\right)}$

e quindi
$v_\text{out}(k)=\left(1-\text{e}^{-k/\chi}\right)V_\text{M}$

dove $\chi$ rappresenta una specie di costante di tempo adimensionale, in "numero di periodi" se si vuole :-)

e comunque facilmente "trasformabile" in vera costante di tempo considerando che ogni periodo k dura T=1/f dell'onda quadra in ingresso...

Finito?? beh ci sarebbe la "visione" a condensatori commutati .....