Circuito dinamico a regime sinusoidale

[andres90]

dunque, ho questo circuito che è in condizioni di stato nullo quando, in t=0, si chiude l'interruttore.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

mi viene chiesto:

1)l'andamento nel tempo della per t>0
2) l'espressione della corrente in condizioni di regime sinusoidale.

intanto volevo capire il senso di queste due domande, o meglio: non vogliono dire la stessa cosa? oppure nella prima ci si riferisce all'andamento inteso come grafico della corrente?
e poi, in tutti gli esempi che ho trovato in rete simili a questi, viene chiesta la e si segue la procedura solita per i generatori costanti: scrivo le relazioni di lato, le LKC, le LKT e le combino per ottenere l'equazione differenziale che modella il sistema. Allora scrivo:



e determino la soluzione particolare sapendo che deve essere una costante come l'ingresso.
Nel circuito di sopra, dopo aver scritto relazioni di lato, scrivo le LK ed ottengo






ed arrivo a questo punto:



non riuscendo ad avere un'equazione in funzione della sola . potrei integrare, ma poi penso di complicarmi la vita e in tutti gli altri casi che ho visto sinora, è una strada che non viene seguita. Dove sbaglio?

[EdmondDantes]

Riporta il testo del problema.
Mancano le condizioni iniziali, i valori numerici dei bipoli e le operazioni sul tasto T.

[andres90]

i valori numerici non li avevo riportati perché più che i risultati, mi interessa la logica da seguire. ad ogni modo:

[RenzoDF]

... Dove sbaglio?

Sbagli nel non controllare criticamente i risultati ottenuti, sbagli nell'applicare sempre e solo Kirchhoff, sbagli nel non conoscere la differenza fra un andamento transitorio e un regime sinusoidale.

Per esempio, pur non sapendo come tu l'abbia ricavata, "guardando" quella relazione differenziale dovresti notare che non può essere corretta, in quanto per una iL nulla porterebbe a dire che la tensione vL è pari alla tensione presente su R2 mentre è chiaro dalla topologia della rete che manca il termine relativo alla tensione sul condensatore ... quella relazione poi è nella sola iL, contrariamente a quanto asserisci.

Per quanto riguarda il metodo, non scrivere KCL e KVL a raffica, più equazioni scrivi, più sarà difficile estrarre la relazione cercata; nei problemi come quello postato si devono ricavare delle equazioni che leghino le grandezze di stato e le loro derivate, in questo caso due equazioni in iL, vC, vL e iC (che possono ovviamente includere le grandezze di ingresso, in questo caso la v(t)) di conseguenza dovrai trovare il modo più semplice possibile per ricavarle ... e il metodo più rapido è normalmente quello di supporre l'induttore come fosse un GIC di valore pari a iL ed il condensatore come un GIT di tensione pari a vC, ovvero quello che viene indicato come metodo del circuito resistivo associato, come ti ho più volte consigliato.

Nel caso in esame la prima relazione è immediata iL=iC, mentre la seconda può essere ottenuta via sovrapposizione ma lascio a te ricavarla, ... se ti va di farlo ovviamente.

[andres90]

certo che mi va di farlo, anzi DEVO
quanto all'equazione, hai ragione e dato l'orario in cui ho postato ieri sera, ero piuttosto stanco. L'equazione corretta è:



(.. e il bello è che la tensione sul condensatore ce l'avevo scritta pure sul foglio ).

Detto ciò, mi riferivo proprio a questo, ossia al fatto che per risolvere esercizi di questo tipo pensavo fosse improbabile dover integrare la in modo da avere tutto in funzione di perché questo complicherebbe ulteriormente le cose. Ti sembrerà strano, ma dalle dispense del mio prof non c'è UN esercizio uno che tratti della risposta di un circuito in regime sinusoidale, ecco perché è da ieri pomeriggio che sto impazzendo cercando delle analogie con i circuiti dinamici con ingressi costanti.

sbagli nel non conoscere la differenza fra un andamento transitorio e un regime sinusoidale.

Dunque, la risposta di un circuito come quello da me postato sarà la somma di due termini, uno dei quali (l'integrale particolare) sarà dello stesso tipo dell'ingresso e rappresenta la risposta a regime, mentre l'integrale dell'omogenea associata è il termine relativo al transitorio e le costanti che compaiono in esso le determino dalle condizioni iniziali. Ciò detto, devo capire bene in cosa consiste il metodo che mi hai citato altrimenti scrivo equazioni a raffica.

[edomar]

Avete affrontato a lezione la teoria dei grafi?

[andres90]

Sì, anche se nelle dispense del prof con gli esercizi svolti per i vari argomenti non viene praticamente mai usato un approccio di questo tipo (anche perché, vista la mia difficoltà con esercizi di questo tipo, temo mi complichi ulteriormente la vita).
A quanto mi ha scritto RenzoDF, immagino di dover studiare questo circuito, per t>0:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

quello che vorrei capire ora è: devo spegnere prima v(t), poi vC(t) e sommare i contributi che ho in entrambi i casi per la iL(t)? Da mettere poi a sistema con iL(t) = iC(t)? Perdonate le castronerie potenziali che scriverò da qui in avanti, ma sono in difficoltà

[edomar]

Sostituendo il generatore di tensione al condensatore e il generatore di corrente all'induttore hai ottenuto una normale rete resistiva. Puoi usare, quindi, tutti i metodi di risoluzione e i teoremi che hai studiato per questo tipo di reti! In questo caso la via con meno calcoli è quella della sovrapposizione, ma puoi utilizzare anche il metodo delle correnti di maglia. Ricorda che devi considerare note le forme d'onda dei generatori indipendenti della rete (Vc, IL, V(t)) e hai lo scopo di calcolare Ic e VL

[andres90]

siccome il problema mi chiede la iL(t), devo comunque calcolarmi vL(t) ed iC(t) spegnendo una alla volta tutti e tre i generatori e vedendo, lasciandone attivo solo una per volta, che contributo mi danno alla vL(t) ed alla iC(t)? insomma, per vL(t) ed iC(t) avrò da sommare per ciascuno i 3 contributi che ottengo da ciascun generatore?

[edomar]

Il tuo obiettivo, in questa prima fase, è quello di ricavare le equazioni di stato, ossia equazioni del tipo:
dove a,b,c,d,e,f sono coefficienti reali.
Ricordando che:

capirai che è sufficiente calcolare in funzione di per poi ricavare le equazioni di stato mediante le formule:
.
Una volta ricavate le equazioni di stato puoi calcolare le condizioni iniziali sulla derivata prima mediante le formule:

e infine ricavare l'equazione differenziale lineare del secondo ordine nella variabile che cerchi (nel tuo caso ), ricavando, ad esempio, dalla seconda equazione di stato e sostituendo nella prima... Dalla risoluzione del problema di Cauchy così ottenuto risali alla soluzione del problema!