ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **wackos** » 20 gen 2014, 13:33

ok perfetto :)

il mio libro però dice che il flusso per Stokes è pari a $\oint \mathbf{F \cdot T} ds$

come trovo T??

da **carloc** » 20 gen 2014, 16:35

ok allora $\mathbf{T}$ è solo un versore tangente alla linea su cui integriamo

come dire che devi trovare la proiezione $\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}$ del campo su quel versore.

Ora praticamente in questo caso è solo banale

:

Prendiamo ad esempio uno dei segmenti su cui dobbiamo integrare, quello $(x\in[0,\pi],y=0,z=0)$ , il suo versore coinciderà ovviamente con $\hat{x}$ e quindi la proiezione del campo sarà semplicemente la sua componente sull'asse x

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

$\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}=F_x=\text{e}^x+y$

ma poi visto che y=0

$\mathbf{F}\cdot\mathbf{T}=F_x=\text{e}^x$

allora la prima parte della circuitazione sarà solo

$\int_0^\pi F_x\text{d}x=\int_0^\pi\text{e}^x\text{d}x$

Ora prova ad andare avanti tu con gli altri tre contibuti

Solo occhio al verso di percorrenza della tua circuitazione ;-)

, mi spiego: è venuto il momento di usare la specifica che è stata data "...verso le z positive..."

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dato che dobbiamo trovare il flusso "verso l'alto" attraverso la nostra superficie, dobbiamo percorrere la circuitazione in senso antiorario, come sopra.

Questo significa che sia i versori da usare che gli estremi di integrazione sui quattro segmenti andranno scelti "in modo opportuno" ;-)

ad esempio sul segmento CD il versore sarà $\mathbf{T}=-\hat{x}$ mentre integrerai da $\pi$ a 0

da **wackos** » 20 gen 2014, 17:21

Scusami davvero... la tua spiegazione è perfetta veramente... ma quando poi vado a farlo non riesco a capire... l'operazione che fai tu devo farla per ogni componente del campo vettoriale e per ogni versore? in poche parole... devo svolgere 12 integrali? non capisco...

da **carloc** » 20 gen 2014, 17:47

No no gli integrali da fare sono solo quattro :ok:

Ci riprovo

i) allora prendiamo il segmento AB

ii) il suo versore è $\hat{\mathbf{x}}$

iii) faccio la proiezione di $\mathbf{F}$ su $\hat{x}$

$\mathbf{F}\cdot\hat{\mathbf{x}}=\left(\hat{\mathbf{x}}F_x+\hat{\mathbf{y}}F_y+\hat{\mathbf{z}}F_z\right)\cdot\hat{\mathbf{x}}=F_x=\text{e}^x+y$

sembra complicato a scriverlo? è proprio una cosa ovvia, la proiezione di F su x non è altro che la componente su x di F (così forse è peggio :roll:

), insomma grazie alla base ortonormale dello spazio tutto si "incastra" ben bene

iv) integro Fx sul segmento AB, x tra zero e $\pi$ e con y=0 e z=0 e va anche bene che $F_x(x,y,z)=\text{e}^x+y$ diventa $F_x(x,0,0)=\text{e}^x$

e trovo la prima delle quattro parti da sommare.

v) rifaccio da i) a iv) per il segmento BC
vi) idem su CD
vii) idem su DA

finalmente sommo i 4 pezzi e "finito"

in totale sono quattro integrali, ma semplici, monodimensionali e di funzioni elementari

da **wackos** » 20 gen 2014, 19:03

credo di aver capito cosa non mi torna...

il mio problema era ''la componente z non la considero?'' credo di aver capito la risposta... non la considero perché la frontiera è bidimensionale... se fosse stata tridimensionale nel calcolo del flusso avrei avuto anche la componente z... giusto?

da **carloc** » 20 gen 2014, 19:20

La frontiera di un solido è una superficie (patata - buccia)
La frontiera di una superficie è una linea (portauova - bordo)

ma il fatto è che devi fare la circuitazione, l'integrale di linea di un prodotto scalare, della proiezione del campo sulla tangente alla curva, il fatto che Fz non si consideri dipende dal fatto che il quadrato-frontiera giace sul piano xy se così non fosse stato avrebbe contato pure Fz.

O meglio il fatto di considerare una componente alla volta è solo fortuna sfacciata

, cioè l'esercizio è stato fatto in modo che la linea di integrazione fosse costituita di segmenti paralleli ai versori della base dello spazio vettoriale proprio per semplificarsi la vita.

da **wackos** » 21 gen 2014, 9:28

Adesso provo a rifarlo ero un po' ok ieri sera e non mi tornavano i conti... Mi usciva un pi al cubo anziché al quadrato... La mia domanda é... Quando integro nel lato cd e giusto che sostituisca a y pi?
Grazie ancora :)

da **wackos** » 21 gen 2014, 9:55

Errore trovato e caso risolto :ok:

Integravo rispetto alla y anche nei tratti ab e cd... Quindi mi usciva una potenza di ordine superiore...

Grazie mille davvero!!!

da **carloc** » 21 gen 2014, 10:02

Sono contento di esserti stato utile :ok:

quello che spero veramente è di "averti insegnato a pescare" piuttosto che "averti dato un pesce"

Pensierino della notte:
considera che una possibile fonte di confusione potrebbe essere che nello stesso spazio 3D dei nostri disegni convivono cose diverse...

i) lo spazio "fisico" dove il fenomeno si svolge
ii) la curva $S:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}$ una cui parte è la superficie di interesse e che si rappresenta in 3D appunto come dominio bidimensionale xy e codominio z
iii) il nostro campo $F:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3$ che ad ogni punto dello spazio associa un vettore

da **wackos** » 21 gen 2014, 10:10

Aiuto ahahah questa cosa mi ha un po' spiazzato... Io parto da un campo vettoriale in 3 dimensioni e mi ritrovo con un flusso che è pari a -pi^2... É un vettore di componenti (0,0,-pi^2) ?

Il punto ii) continua a essere un po' critico

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Flusso del rotore di un campo vettoriale

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