Laplace con relazione integrale dell'induttore

Messaggioda **anotherjoe** » 25 feb 2014, 0:45

Salve,

cercavo di capire la trasformata di Laplace della relazione che descrive l'andamento della corrente su un induttore, ad esempio, che poi è la duale di quella che descrive la tensione sul condensatore.

Ho preso, ad esempio, la relazione della corrente sul condensatore e per avere le formule in chiaro ho creato una immagine in Paint di cui metto il link, e aggiungo anche come allegato se per caso il sito di hosting dovesse cancellarla:

In pratica, la dimostrazione generica della trasformata dell'integrale qualora questo parta da -infinito mi viene giusta, ma ho difficoltà ad applicarla nel caso specifico della descrizione dell'andamento della corrente sull'induttore; in particolare non capisco bene perché venga posto quell'integrale da -infinito a 0-della f(t) dt come f^(-1) (0-) (cosa che viene fatta anche alla fine della dimostrazione della trasformata dell'integrale peraltro).

Inoltre, non capisco nemmeno come mai vengono messe due espressioni alternative della i(t), quella il cui integrale parte da -infinito e quella il cui integrale parte da t0, non vedo come sia possibile passare da una all'altra.

E infine, come mostrato nei passaggi, applicando la trasformata dell'integrale alla relazione, mi viene qualcosa che non riesco a ricondurre al risultato "ufficiale".

Chiedo un aiuto, purtroppo ho scartabellato libri e siti, ma non trovo delle spiegazioni ai miei dubbi.

Grazie mille.

Messaggioda **carloc** » 25 feb 2014, 8:25

Certo che dopo tutti questi anni di associazione a EY uno sforzino per scrivere le formule in Latex lo potresti pure fare anche perché non so con che programma lo hai scritto ma la fatica a farlo in Latex sarebbe la stessa

..anyway scrivere $f^{-1}(x)$ è una notazione per indicare l'integrale di f(x)

...la cosa è piuttosto discutibile, io per lo meno direi $f^{(-1)}(x)$ che in quella maniera sembra la funzione inversa

come dire $f^{(1)}(x)$ è la derivata prima, $f^{(2)}(x)$ la seconda etc. etc. allora $f^{(-1)}(x)$ si potrebbe pensare come derivata di ordine meno uno cioè se vuoi l'integrale.

Poi un qualsiasi integrale definito lo puoi "spezzare" almeno dove la primitiva è definita a meno della stessa costante ;-)

$\int_a^b f(x) \,\text{d}x= \int_a^c f(x)\,\text{d}x + \int_c^b f(x)\,\text{d}x$

nello specifico

$i(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^t v(u) \,\text{d}u$ nota che si deve distinguere tra estremo di integrazione (t) e variabile di integrazione (u) altrimenti i caxini sono in agguato ;-)

ma allora

$i(0^-)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{0^-} v(u) \,\text{d}u$

e anche

$i(t)=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^t v(u) \,\text{d}u=\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{0^-} v(u) \,\text{d}u+\frac{1}{L}\int_{0^-}^t v(u) \,\text{d}u=i(0^-)+\frac{1}{L}\int_{0^-}^t v(u) \,\text{d}u$

Infine per l'ultima questione è corretta, sia tu che il libro dite la stessa cosa...

$\frac{\int_{-\infty}^{0^-} v(u)\,\text{d}u}{sL}=\frac{1}{s}\left(\frac{1}{L}\int_{-\infty}^{0^-} v(u)\,\text{d}u\right)=\frac{i(0^-)}{s}$

Messaggioda **anotherjoe** » 25 feb 2014, 10:07

Davvero molte grazie carloc!!

Mi aspettavo giusto qualche indicazione, ma mi hai dato una risposta completissima, davver utile. :ok:

Hai ragione da vendere sull'editor, devo imparare ad usarlo, d'altra parte non avevo mai avuto bisogno di postare formule del genere, penso che la mezz'ora spesa si sarebbe dimezzata..

Per quanto riguarda $f^{-1}$ in effetti la cosa mi ha lasciato parecchio perplesso... sì dal contesto avrei dovuto capirlo forse, ma l'ho sempre vista come la reciproca (matematicamente) o al massimo l'inversa (sulle calcolatrici) di una funzione

, questa nuova possibile interpretazione mi giunge inaspettata.

Comunque ora volevo riflettere bene sulle dritte che mi hai fornito.

Di nuovo mille grazie!!

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