Interpolazione polin. Errore di discretizzazione di Newton

Messaggioda **Alan1990** » 30 giu 2014, 20:38

Buona sera, nell'ambito dell'interpolazione polinomiale, come si calcola l' errore di discretizzazione di Newton?

Grazie

Messaggioda **Ianero** » 30 giu 2014, 23:24

Nel caso generale, leggi qui:
viewtopic.php?f=7&t=52796

Per l'interpolazione con i polinomi di Newton, ne esistono di due tipi: interpolazione alle differenze divise ed alle differenze finite.

Quale ti interessa? Entrambi?

Messaggioda **Alan1990** » 1 lug 2014, 8:12

sono interessato alle differenze divise,grazie

Messaggioda **Ianero** » 1 lug 2014, 12:22

Dunque, le differenze divise sono definite come:

$f\left[ x \right]:=f\left( x \right)$
$f\left[ x_{1},\; x_{2} \right]=\frac{f\left( x_{1} \right)-f\left( x_{2} \right)}{x_{1}-x_{2}}$
$f\left[ x_{1},\; x_{2},\; x_{3} \right]=\frac{f\left[ x_{1},\; x_{2} \right]-f\left[ x_{2},\; x_{3} \right]}{x_{1}-x_{3}}$

e così via all'aumentare dei nodi.

Ora, applicando ripetutamente la definizione (ogni volta dal passo n+1, ottieni ciò che ti serve per il passo n) otteniamo (prova a farlo per i primi 2 nodi):

$f\left( x \right)=f\left( x_{0} \right)+\left( x-x_{0} \right)f\left[ x_{0},\; x_{1} \right]+\left( x-x_{0} \right)\left( x-x_{1} \right)f\left[ x_{0},\; x_{1},\; x_{2} \right]+...$
$...+\pi _{n}\left( x \right)f\left[ x_{0},\; ...\; ,\; x_{n},\; x \right]$

L'ultimo addendo non è calcolabile numericamente in quanto non si conosce il valore del generico nodo

.

Trascurando nei calcoli quel termine otteniamo che l'errore di discretizzazione o troncamento è dato proprio da:

$\mbox{E}_{T}\left( x \right)=\pi _{n}\left( x \right)f\left[ x_{0},\; ...\; ,\; x_{n},\; x \right]$

Confrontando questa espressione con quella del caso generale nel link in [2], otteniamo l'uguaglianza:

$\pi _{n}\left( x \right)f\left[ x_{0},\; ...\; ,\; x_{n},\; x \right]=\frac{f^{\left( n \right)}\left( \xi \right)}{n!}\pi _{n}\left( x \right)$

Supponendo infine che la derivata n-esima sia poco variabile nell'intervallo di interpolazione possiamo approssimare e quindi stimare l'errore di troncamento:

$\mbox{E}_{T}\left( x \right)\; =\; \frac{f^{\left( n \right)}\left( \xi \right)}{n!}\pi _{n}\left( x \right)\; =\; \pi _{n}\left( x \right)f\left[ x_{0},\; ...\; ,\; x_{n},\; x \right]\; \approx\; \pi _{n}\left( x \right)f\left[ x_{0},\; ...\; ,\; x_{n},\; x_{n+1} \right]$

Dall'ultimo passaggio sappiamo quindi che più la derivata è variabile, più la stima sarà peggiore.
Spero di essere stato chiaro, altrimenti dimmi pure :-)

Messaggioda **Alan1990** » 7 lug 2014, 20:22

Ti ringrazio infinitamente, sei stato chiarissimo. :-)

Volevo chiederti solo un'altra cosa, perché al denominatore appare il fattoriale di n (dove n= numero di nodi) ?

thx

Messaggioda **Ianero** » 7 lug 2014, 21:57

Ti ringrazio infinitamente, sei stato chiarissimo

Prego, mi fa piacere :-)

perché al denominatore appare il fattoriale di n?

Perché non ti sei fatto la stessa domanda del polinomio nodale e della derivata n-esima?

Dimostriamolo va

Allora..
Dobbiamo stimare l'errore di troncamento nel caso più generale possibile quando si approssima una funzione con un polinomio di grado

.
Sappiamo per certo che (a meno di errore di propagazione sui valori di ingresso, che trascuriamo) l'errore sarà nullo nei nodi, allora possiamo scrivere che in generale l'errore di discretizzazione sarà della forma:

$\mbox{E}_{T}\left( x \right)=\pi _{n}\left( x \right)R$

Ora dobbiamo determinare

.

Per farlo consideriamo una funzione ausiliaria definita così:

$G\left( x \right)=f\left( x \right)-p_{n}\left( x \right)-\pi _{n}\left( x \right)R$

(nota che $f\left( x \right)-p_{n}\left( x \right)$ è proprio la definizione di errore di troncamento).
Per come è definita questa funzione ammette n+1

zeri, ed essendo polinomiale possiamo dire che la derivata n-esima si annullerà in un punto che chiamiamo $\xi$ .
Allora abbiamo che:

$f^{\left( n \right)}\left( \xi \right)-n!R=0$

da cui finalmente:

$R=\frac{f^{\left( n \right)}\left( \xi \right)}{n!}$

Conoscendo

siamo giunti allora alla conclusione che:

$\mbox{E}_{T}\left( x \right)=\frac{f^{\left( n \right)}\left( \xi \right)}{n!}\pi _{n}\left( x \right)$

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