Metodo minimi quadrati polinomio approssimazione

[jupiter]

Ciao a tutti

perché il sistema lineare con cui voglio trovare le incognite (i coefficienti) del polinomio approssimante, che utilizza il metodo dei minimi quadrati, diviene ?

Grazie

[Ianero]

La soluzione esatta ovviamente non esiste per i coefficienti di un polinomio approssimante.
La soluzione più "vicina", la migliore, si ottiene proiettando il vettore dei termini noti sullo spazio delle colonne della matrice del sistema.
Riesci a farti un'idea del perché?

Prova a iniziare da qui per dimostrare quella relazione, sfruttando le proprietà dei complementi ortogonali.

Stasera continuiamo se non ci sono news da parte tua

[jupiter]

se osservo la matrice A ho un sistema n x m mentre se applico la trasposizione il sistema diventa n x n....

[Ianero]

Affinchè sia soluzione, deve appartenere allo spazio delle colonne di .

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Come vedi nel nostro caso non appartiene allo spazio delle colonne della matrice del sistema, perché non esiste nessun tale che (se esistesse sarebbe nel iperpiano ).

Adesso è evidente che la soluzione migliore è rappresentata dal vettore proiezione di su perché questo vettore che chiamiamo è il meno "distante" a tra tutti i vettori possibili appartenenti a (è un teorema facilmente dimostrabile).

Allora al lavoro.





Dove è un generico vettore.









Essendo generico vettore di otteniamo:

se osservo la matrice A ho un sistema n x m mentre se applico la trasposizione il sistema diventa n x n

Ottima osservazione!
Prima il sistema era sovradeterminato e senza soluzione.
Dopo invece...