Semiconduttori e banda di valenza, dubbio

[anotherjoe]

salve a tutti,

ci sarebbe questa cosa che non capisco: prendiamo il silicio (semiconduttore). ha 4 elettroni in banda di valenza. volevo chiedere, cosa vuol dire esattamente questo?

c'è qualcosa che non mi torna, perché se io avvicino n atomi di silicio, a formare un cristallo di materiale intrinseco, i livelli energetici permessi si n-uplicano e si sfalsano, dunque in banda di valenza (la prima sotto Fermi) dovrei avere n livelli energetici, con un elettrone per atomo (per livello) (in realtà 2 con spin diverso, ma per semplificare diciamo 1). infatti la densità dei livelli energetici di una banda permessa (e quindi il loro numero) dipende da quanti sono gli atomi vicini che influenzano quello di riferimento (in un pezzo di materiale abbastanza piccolo si può ipotizzare, con buona approssimazione, che ogni atomo risenta della vicinanza di tutti gli altri).

dunque io avevo capito che il silicio parte, come singolo atomo, ad avere 4 livelli permessi sotto quello di fermi (ed un elettrone per ogni livello, allo 0 assoluto), poi se avvicino tanti atomi, al posto di 4 singoli livelli avrò 4 bande di livelli permessi (tutte occupate allo 0 assoluto), la cui prima sopra il livello di fermi prende il nome di BANDA DI CONDUZIONE, mentre la prima sotto il livello di fermi prende il nome di BANDA DI VALENZA e contiene gli elettroni che andranno a formare i legami covalenti... però non ne contiene solo 4, ma n, secondo quanto pensavo, invece deve contenerne 4, perché anche nella rappresentazione grafica della struttura cristallina, ogni atomo di silicio lancia 4 ponti verso 4 differenti atomi a lui adiacenti per condividere i 4 elettroni di valenza.

potreste gentilmente spiegarmi questa cosa?

vi ringrazio molto!

[gill90]

Non sono un esperto del settore, però avendo trattato questo argomento provo a risponderti lo stesso.
Ciò che devi considerare è che l'interazione di più atomi di silicio atta a formare un cristallo deve essere a tutti gli effetti considerata come un sistema a sè stante, non come un'estensione del caso di una singola particella. Quando studi il caso di un solo atomo di silicio, ti ritrovi che i livelli energetici permessi sono ricavabili dalla soluzione dell'equazione di Schrodinger corrispondente alla struttura trattata. Avvicinando sempre più i singoli atomi di silicio, ottieni una struttura periodica che ha l'effetto di modificare le condizioni al contorno per la soluzione dell'equazione di Schrodinger, creando una nuova famiglia di soluzioni che, assieme al principio di eslusione di Pauli, ha l'effetto di "differenziare" i livelli precedentemente ricavati nel caso di un singolo atomo e distribuire gli elettroni in ognuno di questi livelli a partire da quello più basso (massimo 2 con spin opposto per ogni orbitale). Così avrai che, diminuendo la distanza interatomica , l'interazione tra gli atomi farà in modo che i livelli di energia comincino a differenziarsi mano mano a partire dal livello più alto, finché raggiunta la distanza pari al passo reticolare del cristallo , si formerà la tipica struttura a bande:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Tra queste, puoi riconoscere la banda di valenza (l'ultima banda parzialmente o completamente occupata a 0K) e quella di conduzione (la prima libera a 0K). Nel caso dei metalli, banda di valenza e banda di conduzione si sovrappongono, mentre nel caso di semiconduttori e isolanti esse sono separate da un band gap, o banda proibita, più stretta per i semiconduttori e più ampia per gli isolanti. Quando tu consideri questa rappresentazione, non puoi più rifarti al caso di un singolo atomo: devi tener presente che il cristallo, in questo caso di silicio, contiene l'interazione tra tutti i nuclei e gli atomi considerati, per cui nella tua banda di valenza saranno contenuti gli elettroni a livello energetico più alto consentito che formeranno i legami covalenti. Anche se ogni atomo di silicio forma legame covalente con 4 dei suoi elettroni, in un cristallo avrai atomi di silicio interagenti, per cui non puoi fermarti ai 4 legami covalenti di un singolo atomo. Invece, nella banda di valenza sono contenuti tutti i atomi formanti il legame, ossia quartetti di legami covalenti.

[anotherjoe]

grazie della risposta.

forse ho capito il mio errore.

cioè io credevo che: il silicio ha 4 elettroni di legame, ognuno associato ad un livello di energia cinetica/orbitale. se si avvicinano n atomi si silicio, ognuno di quei 4 livelli si n-uplica e si formano 4 bande (una per ogni livello), la cui quella occupata più in alto è la BANDA DI VALENZA (ERRORE!!!). a quel punto, gli elettroni di legame di ogni atomo sarebbero stati divisi in 4 bande e avrei avuto 4 bande di elettroni di legame, e allora, stante l'errore, quando mi chedevo come mai solo quelli in banda di valenza formassero un legame, trovavo risposta nella considerazione che formano un legame di elettroni più debolmente legati al nucleo e la banda di valenza avrebbe contenuto quello più debolmente legato al nucleo relativo ad ogni atomo. quello che non tornava era che, in realtà, con le cose siffatte solo un elettrone per ogni atomo formava un legame (appunto, quello più debolmente legato) e non capivo da dove saltassero fuori gli altri 3 legami, che a quel punto dovevano coinvolgere anche le altre bande oltre a quella di valenza.
poi non so perché, cercando una spiegazione alla cosa mi ero fossilizzato sull'assunto che la banda di valenza dovesse per forza contenere 4 elettroni, indipendentemente da tutto (atomi vicini, eccetera, davo per scontato che si formasse una struttura a bande con 4 elettroni in banda di valenza, punto) per arrivare ad una conclusione, ma non ce la facevo lo stesso, e a quel punto ho chiesto qui... vabè.



invece è corretto dire che: ognuno di quei 4 livelli si n-uplica, e si "fonde" assieme a tutti gli altri (anche quelli di uno stesso atomo) in un'unica banda complessiva di livelli permessi, detta BANDA DI VALENZA, che contiene tutti i 4 elettroni di legame di ognuno degli atomi vicini.


a questo punto immagino sia così anche per i livelli della banda di conduzione: quelli permessi non occupati di ogni atomo si "fondono" tutti assieme, sia quelli dello stesso atomo sia quelli di tutti gli altri, nella banda di conduzione.
e che complessivamente, la rappresentazione a bande (almeno per un semiconduttore) ha solo queste 2 bande.

[anotherjoe]

chiedo scusa del doppio post, ma non si trova il pulsante per editare il messaggio.

allora rileggendo qui:
http://it.wikibooks.org/wiki/Elettronic ... conduttori

mi è tornato il dubbio. sembra che in effetti i livelli diventino bande di livelli, ognuna separata dall'altra. il silicio ha 14 elettroni, quindi dovrebbe avere 14 livelli, oppure 7 con 2 elettroni con spin opposto per livello, a seconda di se nel numero atomico sono conteggiati gli elettroni o i livelli energetici.

qundi quei 4 elettroni di valenza, non potendo stare tutti su un livello, dovrebbero dividersi in 4 (o 2) bande diverse. l'unica spiegazione che posso darmi è che nel livello energetico più alto del silicio ci siano 4 elettroni.... anche se sapevo che ce ne possono essere solo 2 con spin opposto.

[gill90]

il silicio ha 14 elettroni, quindi dovrebbe avere 14 livelli, oppure 7 con 2 elettroni con spin opposto per livello

Occhio però a considerare gli orbitali, non gli elettroni: quando consideri la tua equazione di Schrodinger, puoi ricavarne la soluzione, come già detto, partendo dalla descrizione del potenziale nello spazio circostante. Ciò ti permette di ricavare i valori dei livelli di energia corrispondenti (quantizzati) e la funziona d'onda soluzione di tale equazione (orbitale), il cui modulo quadro rappresenta la densità probabilità di trovare la particella corrispondente nel punto considerato. Un orbitale è generalmente identificato da 3 valori: , e , legati al fatto che consideriamo soluzione con coordinate sferiche in 3 dimensioni spaziali. I primi due (numero quantico principale e numero quantico azimutale) concorrono a definire il livello energetico considerato. In particolare, può assumere tutti i valori interi da 0 a e gli interi da a . Se ti ricordi in chimica i numeri vengono anche chiamati per , per , d per e f per . Così ad esempio il caso () può garantire ad di assumere 3 valori: -1, 0 e +1. I valori di descrivono l'orientamento spaziale dell'orbitale, ma gli orbitali con stesso e stesso , ma diverso , hanno tutti la stessa energia: per questo sono chiamati degeneri, e per questo quando sempre in chimica riempivi i quadratini dei vari orbitali con le due freccinee di spin (non so tu, ma almeno io lo facevo!), quando consideravi gli orbitali () mettevi sempre 3 quadratini affiancati, ad indicare che in realtà hanno la stessa energia ma 3 diverse orientazioni spaziali. Per questo motivo al livello di energia corrispondente al ti ritrovi 3 orbitali degeneri che possono essere riempiti al massimo da 6 elettroni (3 coppie con spin opposto). Quindi l'ultimo livello energetico del silicio corrisponde agli orbitali , in particolare la configurazione elettronica del silicio termina con , a indicare che per completare l'ultimo livello (e raggiungerne così i 6 massimi) sono necessari ancora 4 elettroni, da ricavare tramite legami con orbitali simili di altri atomi del cristallo nell'ultima banda, quella appunto di valenza. Ovviamente anche in questo caso quest'ultimo livello energetico dell'atomo isolato si differenzia progressivamente man mano che aggiungiamo e avviciniamo altri atomi simili a formare il cristallo, con il risultato che si formerà tale banda di valenza come differenziazione dell'ultimo livello di energia dell'atomo di silicio, quello che contiene il .
Non è una trattazione molto rigorosa ma spero se non altro di aver chiarito i concetti, comunque per informazioni più approfondite circa gli orbitali ti rimando a questa pagina di wiki.