Algoritmo risolutivo Circuiti Lineari del Secondo Ordine

Messaggioda **EagleOne** » 27 gen 2015, 20:45

Salve

Stavo cercando di sintetizzare un "algoritmo" di risoluzione di circuiti del secondo ordine, al fine di memorizzare i passaggi fondamentali e metterli in pratica. Lo posto qui così che voi possiato confermare o meno la validità e chiarificare alcuni dubbi

Passo 1) Individuazione delle condizioni iniziali
A partire dal circuito iniziale (solitamente c'è un interruttore, quindi il circuito iniziale è differente da quello finale),

1.1) Se il generatore è stazionario, sostituisco ai condensatori/induttori circuiti aperti/cortocircuiti. Applicando le regole dei partitori, mi ricavo sia Vc(0)/Il(0), necessari a definire le condizioni inziiali per quel Problema di Cauchy che sto definendo (se non ci fosse, sarebbe solo un'equazione differenziale e le soluzioni sarebbero tutte riconducibili ad una sola a meno di una costante) sia Il(0)/Vc(0), anche se non è necessario per definire le condizioni iniziali (per chiarificare, oltre al parametro necessario cerco anche l'altro), mi sarà utile per definire i parametri (A/B,K+/K-) della soluzione.

1.2) Se il generatore è sinusoidale, applico il metodo dei fasori, individuando gli stessi parametri (non più costanti, ma fasori); a meno di queste differenze (fondamentali), ci si riconduce al caso di prima.

1.3) Se i generatori sono più d'uno applico la sovrapposizione degli effetti, riconducendo questo caso ad una somma dei risultati §1.1 e §1.2.

Successivamente

1.1.1) Se il circuito è stazionario, spegnendo i generatori trovo una resistenza equivalente e mi riconduco ad uno dei casi RLC serie o RLC parallelo

Domanda 1 Posso farlo? Non vale, ovviamente per i sinusoidali?

Passo 2) Individuazione dell'evoluzione
Sapendo che ogni circuito del secondo ordine può essere ricondotto (sia RLC serie che parallelo), ad un'equazione del genere:
$\lambda^2+2\sigma\lambda+\omega^2_r=0$
Noti la resistenza equivalente del circuito, l'induttanza dell'induttore e la capacità del condensatore:
$\\ RLC Serie:$
$\\\sigma = - \frac{R}{2L}$
$\\ \\RLC Parallelo: \\$
$\sigma = - \frac{1}{2RC}$
$\\ \\ Inoltre: \\ \omega_r^2= \frac{1}{LC}$
$\\ \\ Infine: \\ \lambda_{+-} = \sigma \pm \sqrt{\sigma^2 - w_r^2}$
Il $\Delta$ determina la situazione:
2.1) $\Delta<0$
Riscrivendo $\lambda_{+-}=\sigma \pm jw_d$
La soluzione è del tipo:
$x(t)=e^{\sigma t}(A cos(w_dt)+B sen(w_dt))+x_p(t)$
Il parametro xp(t), soluzione particolare viene individuato trovando il valore della corrente dell'induttore o della tensione del condensatore del circuito finale.

2.1.1)
I parametri sono così definiti:
A=i_l(0)

oppure

Se cerco la corrente di un induttore, il parametro B:
$\sigma A+w_d B=\frac{V_L(0)}{L}$
Oppure:
$\sigma A+w_d B=\frac{i_c(0)}{C}$
(Per il calcolo di questi parametri ho bisogno della variabile di stato dell'altro elemento dinamico, avvenuto a §1.1)

Domanda 2 Il circuito su cui devo lavorare, per trovare la variabile "complementare" rispetto a quella che ho bisogno, nel caso di un interruttore a t=0 è quello del circuito precedente all'azione dell'interruttore, giusto?

Domanda 3 Proprio in questo passaggio incontro più problemi, dovendo combinare maglie e nodi in maniera da "procurarmi" la variabile di cui ho bisogno. Nessun consiglio?

2.2) Il caso: $\Delta>0$
le soluzioni saranno reali e distinte e del tipo:
$K_+ e^{\lambda_+ t}+K_- e^{\lambda_- t}=0$

2.2.1) I parametri sono:
k_+ + k_-= i_l(0)

oppure

ed inoltre:
$k_+ \lambda_+ + k_- \lambda_-= \frac{v_l(0)}{L}$
oppure:
$k_+ \lambda_+ + k_- \lambda_-= \frac{i_C(0)}{C}$

Domanda 4 Non sono molto sicuro della parte §2.2, potete confermare? Forse ho dimenticato la soluzione particolare? #-o

Domanda 5 Per $\Delta = 0$ ?

Messaggioda **EagleOne** » 29 gen 2015, 16:12

Nel caso del $\Delta>0$ deve essere aggiunta la soluzione particolare. Nessuno ha controllato questi passaggi per verificarli?

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