ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **simo85** » 3 set 2015, 23:57

Ciao a tutti O_/

Scrivo perché, dopo essermi imbattuto negli esercizi della convoluzione nel dominio continuo, ho qualche dubbio (o almeno credo) nel definire i limiti di integrazione in funzione di

nel calcolo dell'integrale.
Mi piacerebbe colmare questa mia lacuna, anche se ho il sospetto di doverne colmare qualcuna in più.

Faccio quindi un esempio che penso sia abbastanza semplice proponendo la mia soluzione.

Abbiamo quindi due segnali:

$\begin{aligned} x(t) = \begin{cases} t + 1 & 0 \leq t \leq 1\\ 2 - t & 1 < t \leq 2\\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\\ h(t) = \delta(t + 2) + 2\delta(t + 1) \end{aligned}$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Mentre nella seguente rappresentazione abbiamo i segnali del dominio $\tau$

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

E procedo cosi:

$\begin{aligned} h(t) &:= \delta_0(t) + \delta_1(t) = \delta(t + 2) + 2\delta(t + 1)\\ \delta_0(-\tau) &:= \delta(-\tau + 2)\\ \delta_1(-\tau) &:= 2\delta(-\tau + 1)\\ y(t) &:= x(t)*h(t) = x(t)*[\delta_0(t) + \delta_1(t)]\\ &= \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta_0(t - \tau)\ \text d\tau + \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta_1(t - \tau)\ \text d\tau\\ \end{aligned}$

E per il momento ho preferito esprimere il procedimento solo con la formulazione degli integrali, cosi:

$\begin{aligned} & 2\int_0^{t + 1}\delta_1(\tau + 1)\ \text d\tau + \int_0^{t + 1}\delta_0(\tau + 1)\ \text d\tau \qquad 0 \leq t \leq t + 1\qquad(1)\\ & \int_{t + 1}^{t + 2}\delta_0(2 - \tau)\ \text d\tau \qquad t + 1 \leq t \leq t + 2 \qquad(2) \end{aligned}$

Ma non sono sicuro che vada bene. Temo che ci sia qualcosa di sbagliato.. (o nel procedimento o nella definizione dei limiti di integrazione che penso non siano espressi correttamente in (1) e (2)). Sono insicuro. Voi che dite ?

Con la convoluzione discreta penso di aver risolto i dubbi che avevo, ma con la convoluzione continua a volte vado un po' nei casini... :oops:

Ringrazio in anticipo per eventuali tirate di orecchie, suggerimenti e consigli.

O_/

Simo

da **Russell** » 4 set 2015, 9:00

sinceramente non ho capito il passaggio intermedio che hai usato per arrivare alla (1) e alla (2) dalla formula precedente

pero' i limiti dell'integrale non sembrano corretti, ma anche le quantità integrate mi spiazzano un po' ad essere pignoli... ma forse è colpa mia che non vedo il passaggio intermedio che hai fatto, quindi non comprendo correttamente quel risultato

in ogni caso credo di intuire che vuoi risolvere questo esercizio analiticamente per comprendere meglio i passaggi.... perche' altrimenti sarebbe molto piu' pratico procedere per via grafica, e usando una delle famose proprietà della convoluzione che semplifica molto la vita quando c'è una delta di mezzo

da **simo85** » 4 set 2015, 9:16

Russell ha scritto:sinceramente non ho capito il passaggio intermedio che hai usato per arrivare alla (1) e alla (2) dalla formula precedente

Quei passaggi meriterebbero essere cancellati ed io di essere preso a mattonate in testa. Immagine

A mezzanotte, è meglio che vada a dormire invece di mettermi a fare ragionamenti a capocchia e mettere tutto nero su bianco. #-o

Russell ha scritto:credo di intuire che vuoi risolvere questo esercizio analiticamente per comprendere meglio i passaggi

Si. È il mio obbiettivo. Più tardi ci torno sopra...

da **simo85** » 4 set 2015, 20:11

Ciao

Russell, rieccomi.

Tralasciando la paperata del messaggio 1 :roll:

, quoto la parte che ritengo più importante della tua risposta:

Russell ha scritto:in ogni caso credo di intuire che vuoi risolvere questo esercizio analiticamente per comprendere meglio i passaggi.... perche' altrimenti sarebbe molto piu' pratico procedere per via grafica, e usando una delle famose proprietà della convoluzione che semplifica molto la vita quando c'è una delta di mezzo

Come ben hai intuito, vorrei risolvere analiticamente. Ma forse è meglio proseguire passo per passo con la via grafica. Riguardo alla famosa proprietà citata, intuisco che tu faccia riferimento a questa:

$(\P) \quad \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\delta(t - \tau)\ \mathrm d\tau = x(t)\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t - \tau)\ \mathrm d\tau = x(t)$

E fin qui penso di non avere problemi..
I miei problemi (in generale) nascono quando devo lavorare con le traslazioni e le notazioni in funzione di

.
Penso di fare confusione con i domini..

Qualcosa mi dice che nelle rappresentazioni del messaggio 1, avrei dovuto scrivere:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Dove qui, i valori t_1 = t + 1

e

sono appunto appunto traslati sul dominio $\tau$ .

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

E se non sbaglio, prendendo in considerazione la proprietà $\P$ citata poco più sù, qualcosa mi dice che:

y(t) = (x * h)(t) = 2x(t + 1) + x(t + 2)

EDIT:
Per quanto riguarda i limiti di integrazione, sbaglio semplicemente nel non considerare:

$\tau + \Delta t = t \Rightarrow \tau = t - \Delta t$

Devo fare più esercizi. Poco ma sicuro.

:-k

da **Russell** » 5 set 2015, 9:51

Ok, procediamo per via grafica allora, trascurando parzialmente i dettagli analitici.
La formula a cui mi riferivo era questa

$x(t)*\delta (t-t_0)= \int_{-\infty}^{\infty}x(\tau) \cdot \delta (t-t_0-\tau)\ \mathrm d\tau=x(t-t_0)$

ovvero se hai una delta di Dirac (non necessariamente centrata nell'origine, ma in un generico t_0

)
allora la convoluzione con un segnale x(t) porta come risultato esattamente il segnale originario, ma traslato di t_0

se hai 2 delta sommate, per linearità, avrai come risultato della convoluzione due funzioni x(t) traslate in punti diversi, che si sommeranno tra di loro

GRAFICAMENTE

usando la precedente formula questo significa che il tuo segnale x(t) [in rosso in figura] viene traslato dalla prima delta ( $\delta(\tau+2)$ ) nella sua "origine locale", ovvero '-2' [in azzurro in figura ]... e viene traslato dalla seconda delta ( $2\delta(\tau+1)$ ) nella sua origine locale, ovvero '-1' [in rosa in figura]

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La cui somma, dovrebbe essere questa sotto

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ANALITICAMENTE:

simo85 ha scritto:qualcosa mi dice che:

y(t) = (x * h)(t) = 2x(t + 1) + x(t + 2)

esatto

e se hai pazienza dovresti ottenere questo risultato anche con gli integrali.
Pero' ti consiglio prima di riflettere sulla dimostrazione della formula che ti ho segnalato

NOTA A PARTE
Odio le rappresentazioni nel dominio $\tau$
a mio avviso creano solo confusione
servono solo a capire la prima volta, poi credo sia meglio evitare come la peste di usarli
Non dico che ti invito a fare altrettanto, magari il tuo prof ve li ha spiegati cosi', ti segnalo che devi solo stare MOLTO attento a quando li usi

da **simo85** » 5 set 2015, 14:17

Ciao

Russell (finalmente mi ricorrdo di scrivere 2 l quando ti taggo :mrgreen:

),

Grazie per il tuo aiuto. OK per la proprietà (che sicuramente è riportata sul libro e me l'ero dimenticata).

Russell ha scritto:NOTA A PARTE ...

Forse la mia confusione arriva da quello che fai notare tu.

Ho un esempio di problema pronto e perfetto per esporre al meglio i miei dubbi, su cui ho ragionato ieri sera ma per via di problemi di una rara forma di cocciutaggine acuta

, non sono riuscito a risolvere (o almeno credo).

Però preferisco aprire un nuovo thread per non mischiare esempi e fare ulteriori confusioni.
Ti ringrazio nuovamente per gli aiuti in questo thread.

O_/

Simo

da **Russell** » 5 set 2015, 14:43

simo85 ha scritto:finalmente mi ricorrdo di scrivere 2 l quando ti taggo

ah ah, eh si ... ho un cuginetto
ogni tanto guardo le sue taggate, non si sa mai

simo85 ha scritto:Forse la mia confusione arriva da quello che fai notare tu

In effetti non ho infierito, ma nei tuoi disegni nel dominio tau c'era quasi sempre qualcosa che mi tornava poco
chiamiamole incertezze nel fare un disegno frettolosamente, o chiamiamoli proprio errori, non importa indagare a fondo ... comunque...

simo85 ha scritto: preferisco aprire un nuovo thread

aspetto il tuo esercizio e tuoi ragionamenti con piacere, sempre che non fai tutto da solo :ok:

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[1] Convoluzione continua e limiti di integrazione in t

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