Diagramma di Bode delle ampiezze

[Bernheart]

Salve a tutti,
Ho sempre problemi a tracciare diagrammi di Bode quando essi presentano uno zero o un polo nell'origine.
Vi illustrerò le mie perplessità con un esempio.
Sia

Essa presenta uno zero nell'origine e un guadagno con fase iniziale di radianti.

Qualora decidessi di rappresentare studiando separatamente il numeratore e il denominatore, avrei:

numeratore) Una retta con pendenza
denominatore) due poli a parte reale negativa coincidenti alla pulsazione .

la mia domanda è sul numeratore: a quale pulsazione la retta interseca l'asse a 0dB? Che ruolo gioca la costante ? se essa invece di -100 fosse stata -10000, quale sarebbe stata la differenza sul diagramma del numeratore?

--- il mio procedimento ---
Personalmente pensavo di calcolarmi il diagramma di Bode di , ovvero solo del numeratore; volevo poi trovare il punto di intersezione della retta con l'asse a 0 db.
Per far ciò ho posto

Quindi in base a ciò, l'intersezione si ha a .

(domanda: se invece che 100 fosse stata10000, cosa sarebbe cambiato?)

Ora, siccome ci son due poli alla pulsazione , mi aspetterei che il diagramma delle ampiezze vada a in seguito a .

Nella risoluzione dell'esercizio invece, il diagramma tocca l'asse a 0db proprio in , per poi decrescere: potremmo dire che la funzione presenta un massimo assoluto in . E' pertanto evidente che c'è un problema nel calcolo del punto di intersezione.

So che può risultare più semplice calcolare il valore

per poi procedere a tracciare una retta che arriva con pendenza nel valore calcolato, ma voglio capire cosa ho sbagliato nel mio ragionamento precedente.

Grazie!

[IsidoroKZ]

Zero nell'origine vuol dire uno zero a frequenza piu` bassa di qualunque altro polo o zero. Che vuol anche dire che per frequenze abbastanza basse tutti gli altri contributi in s non contano.

La parte iniziale del grafico puoi tracciarla trascurando tutti gli altri contributi della variabile s, come se la tua funzione fosse



quindi con una retta con pendenza +20dB/decade. Questa retta incrocia l'asse a 0dB per

Comincia quindi a tracciare questa retta, poi aggiungi zeri e poli di mano in mano che arrivano. Non e` detto che la retta iniziale arrivi ad attraversare l'asse a zero decibel: se prima di 100rad/s ci sono dei poli o degli zeri la cosa cambia, ma il prolungamento della retta iniziale passa sempre per lo stesso punto di attraversamento.

Ad esempio prendi la tua funzione e supponi che al denominatore ci siano due poli (scritti sempre con lo stesso termine noto) a 10rad/s, a 100rad/s o a 1000rad/s.

Allora il grafico dei tre casi e` il seguente:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

La parte iniziale blu e` sempre la stessa. Poi se trovi dei poli in 10rad/s la retta blu non arriva all'asse a 0dB, solo il suo prolungamento ci arriva. Se i poli sono in 100rad/s la retta iniziale, sul diagramma asintotico arriva a toccare l'asse a 0dB e poi torna giu`, infine se i poli sono oltre l'intercetta si ha l'intercetta vera e propria e poi ci sono i poli.

Da notare che bisognerebbe scrivere bene i poli, normalizzando il termine noto a 1, ma e` una cosa che fanno in pochi.

[Bernheart]

Grazie Isidoro, la tua risposta è molto chiara.
Nel caso avessi avuto un polo nell'origine, avrei dovuto annullare tutti le altre s tranne quella nell'origine vero?

Comunque da un punto di vista più matematico, come si giustifica il fatto di annullare tutte le s meno quella dello zero nell'origine?

[IsidoroKZ]

Si fa uno sviluppo asintotico per s->0 e si vede dove intercetta l'asse a 0dB.

[pietrojoe]

Comunque da un punto di vista più matematico, come si giustifica il fatto di annullare tutte le s meno quella dello zero nell'origine?

poiché i diagrammi di Bode fatti come linee spezzate sono tracciati in modo approssimato, allora per s->0 si fa un ragionamento al limite, considerando quindi gli infinitesimi, quindi il grado più basso del denominatore e del denominatore :)