Transitorio dominio del tempo

[Carlo1]

Salve ragazzi, vi posto un esercizio che stavo svolgendo però ho riscontrato delle difficoltà .

Testo:
Operando nel dominio del tempo,con riferimento alla rete in figura,inizialmente scarica, si determini per t=20ms:
1)La potenza assorbita da R2 ;

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

R2=50 ohm, R1=100 ohm, C1=10 microFarad, L2=1 milliHarry

Queste sono tutte le informazioni utili per poterlo risolvere.

1)INNANZITUTTO RICAVO LE CONDIZIONI INIZIALI per t<0:
Visto che la rete è inizialmente scarica, abbiamo che la vc(0-) e la iL(0-) sono entrambe nulle.
Cioè condizioni iniziali nulle.

2)EVOLUZIONE LIBERA per t>0 : per poter ricavare l'equazione differenziale omogenea
Stabilisco un determinato verso della maglia e scrivo legge di kirchhoff all'unica maglia considerata

Circuito considerato:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

LKT MAGLIA:
Sostituisco le relazioni caratteristiche dei bipoli presenti e considero come unica corrente circolante , la corrente passante per l'induttore L2 , ottenendo:


Vado a ricavare il polinomio caratteristico , ottenendo le due soluzioni reali e distinte ovvero le frequenze naturali .


Scrivo soluzione dell'omogenea come:


Dopo aver fatto questo, devo ricavare la soluzione particolare ovvero lavorare in evoluzione forzata, considerando t>0 il generatore di corrente.
Qui mi blocco.
Non riesco più ad andare avanti poiché non so come agire, poiché vi è quel grafico che rappresenta l'andamento della corrente del generatore.

Però avevo pensato di:
1)Considerare la soluzione particolare iL3p(t) a t compreso tra 0 e 10ms poiché la corrente circola solo quando vi è il generatore (Vedere grafico);
Ma non so se ha senso , visto che mi chiede di calcolare la potenza di R2 a t=20ms.
Però visto che il testo mi chiede la potenza assorbita da R2 a t=20ms, e avevo pensata di calcolarla come:
ove iR2 è proprio la corrente dell'induttore.

Ho solo problemi sulla soluzione particolare, ovvero in quale intervallo considerarla.
Per quanto riguarda il problema di cauchy per trovare le costanti A1 e A2, non ho problemi.

Spero mi sia fatto capire.

Grazie in anticipo.

[gac]

L'errore di fondo è che quando t>0 devi considerare la presenza di quel generatore, che ovviamente interviene anche nelle equazioni differenziali. Devi aggiungere all'equazione alla maglia che consente di stabilire la tensione nell'induttore l'equazione al nodo con la corrente del generatore per poter stabilire la corrente del condensatore. Ti rimando a questo thread, dove è stato risolto un problema del secondo ordine con un generatore di corrente (non sono indicate le condizioni iniziali, è solo ricavata l'equazione differenziale del secondo ordine). Troverai anche una "scorciatoia" indicata da RenzoDF che si basa sugli autovalori della matrice A dei coefficienti del sistema delle due equazioni differenziali del primo ordine.

Adesso non posso risolvere l'esercizio, cercherò di farlo più tardi.

[RenzoDF]

... RICAVO LE CONDIZIONI INIZIALI per t<0: ...
Cioè condizioni iniziali nulle.

Esatto.

... EVOLUZIONE LIBERA per t>0

L'evoluzione libera a partire da condizioni iniziali nulle sarà nulla, non credi? ... avrà senso considerarla solo allorché per t=10 ms le nuove condizioni iniziali, non saranno nulle e, spegnendosi il GIT, non ci saranno nemmeno più forzanti nella rete.

Riassumendo: per t > 0 avrai solo la risposta forzata, che potrai ricavarti andando a risolvere l'equazione differenziale ottenibile considerando come ha già detto gac, anche il GIC, mentre per t > 10ms, spegnendosi il GIC, avrai solo evoluzione libera, che avrà per condizioni iniziali la e la .

BTW Per i pedici, per esempio, R_1 se singolo carattere, i_{L2} se multiplo; \mu F per microfarad.

[claudiocedrone]

...BTW Per i pedici, per esempio, R_1 se singolo carattere, i_{L2} se multiplo; \mu F per microfarad...

E a proposito, scrivendo "per esteso" (come hai fatto nel post di apertura) l'iniziale dell'unità di misura va in minuscolo (microfarad, millihenry... henry, non Harry ! ); poi, sempre riguardo LaTeX, l'asterisco indica la convoluzione; se serve un segno di moltiplicazione a secondo dei casi usa \cdot ( ) oppure \times ( ).