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da **Ianero** » 22 dic 2017, 15:56

Sto cercando di sviluppare un modello sensato per la velocità di deriva degli elettroni di conduzione in un metallo.
Analizzo le cose inizialmente con un campo elettrico applicato costante e uniforme.
Per ipotesi gli elettroni non interagiscono con gli ioni (sempre fissi) se non con urti elastici.

La velocità della i-esima particella sarà dunque (tra l'n-esimo urto e il successivo):

$\underline{v_i}(t)=\underline{v_i}(t_{n_i})-\frac{e}{m}(t-t_{n_i})\underline{\mathfrak{E}}_0$

dove $\underline{v_i}(t_{n_i})$ è la velocità della i-esima particella subito dopo che sia avvenuto l'n-esimo urto per essa, $\underline{\mathfrak{E}}_0$ è il campo elettrico esterno costante ed uniforme,

è la carica dell'elettrone e

la sua massa.

Per la prima particella:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

per la seconda:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

e così via...

Siccome voglio calcolare la velocità media $\underline{v_m}(t)$ dell'intero sistema di

elettroni, effettuo una media su tutte:

$\underline{v_m}(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t_{n_i})}_{=0}-\frac{e}{m}\left (t-\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(t_{n_i})}_{\left \langle t_n \right \rangle} \right )\underline{\mathfrak{E}}_0$

dove $\left \langle t_n \right \rangle$ è l'istante di tempo medio a cui avviene l'n-esimo urto per l'intero sistema di particelle.

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

che però è ancora una funzione del tempo (approssimazione: $\left \langle t_{n+1} \right \rangle - \left \langle t_{n} \right \rangle \approx \tau = \text{const}$ ).
In tutti i modelli che ho trovato su internet si vuole ottenere una velocità media (o di deriva) costante nel tempo, al fine di ottenere una conducibilità costante del metallo.
Devo quindi mediare di nuovo nel tempo $\underline{v_m}(t)$ ?

Nel caso la risposta giusta fosse affermativa, otterrei una velocità di deriva $\underline{v_d}$ :

$\underline{v_d}=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau}\underline{v_m}(t)\text{d}t=\frac{1}{\tau}\int_{0}^{\tau } -\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0t \text{d}t=-\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0\frac{\tau}{2}$ .

Nei modelli che ho trovato io un po' ovunque la velocità di deriva è definita così:

$|\underline{v_d}|=\frac{e}{m}{\mathfrak{E}}_0 \tau$

In sostanza io mi ritrovo quel fattore due a denominatore di differenza, cosa che crea problemi più rilevanti se si passa a un modello con campo elettrico variabile per il calcolo della conducibilità in funzione della frequenza del campo.
Vorrei dunque tentare di capire per bene prima il modello statico, risolvendo questa differenza.

Qualcuno ne sa qualcosa?

Grazie in anticipo.

da **DanteCpp** » 22 dic 2017, 16:43

Io farei cosi

$m \frac{\Delta v}{\Delta t} = -e E_0$

dove $\Delta t$ è l'intervallo di tempo medio che intercorre tra una collisione ed un'altra, quindi qualcosa del tipo

$\Delta t = \frac1N \sum_{i=0}^{N} (t_{i+1}-t_i)$

dove t_i

è il momento in cui avviene l'iesima collisione.

PS. (qua intendevo N essere il numero totale di collisioni per una particella)

Portando delta t dall'altra parte e mediando entrambi i membri per il numero di particelle, si ottiene

$v_m = -\frac{e E_0}{m} \Delta t$ .

$\underline{v_m}(t)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t)=\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\underline{v_i}(t_{n_i})}_{=0}-\frac{e}{m}\left (t-\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(t_{n_i})}_{\left \langle t_n \right \rangle} \right )\underline{\mathfrak{E}}_0$

In questa che hai scritto tu, non capisco come ha fatto t ad uscire dalla media.

da **Ianero** » 22 dic 2017, 16:48

Ho risolto subito dopo aver postato, mi capita spesso quando pongo domande "formalizzate" :-)

Comunque:

DanteCpp ha scritto:Portando delta t dall'altra parte e mediando entrambi i membri per il numero di particelle, si ottiene..

Mi sembra la stessa che ho scritto io, in modo diverso.

Poi:

DanteCpp ha scritto:In questa che hai scritto tu, non capisco come ha fatto t ad uscire dalla media.

è il tempo, non c'entra niente con la media su

particelle (indice

).

Comunque grazie di esserti interessato :ok:

da **DanteCpp** » 22 dic 2017, 17:00

ok, quello che intendevo è solo che secondo me l'intervallo di tempo medio tra un urto e il successivo non è questo

$t-\underbrace{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(t_{n_i})}_{\left \langle t_n \right \rangle}$ .

Se hai risolto puoi postare la soluzione, a me farebbe piacere leggerla.

da **Ianero** » 22 dic 2017, 17:18

Infatti non è quello, ma:

$\left \langle t_n \right \rangle - \left \langle t_{n-1} \right \rangle$ .

Nel modello di Drude questi intervalli di tempo vengono approssimati come costanti e chiamati $\tau$ .

La formula finale diventa dunque:

$\underline{v_d}=-\frac{e}{m}\underline{\mathfrak{E}}_0 \frac{\tau}{2}$ .

Il 2 a denominatore resta e la forma funzionale della conducibilità quando si passa a campi variabili non viene modificata.

Ma in ogni caso il 2, se ho capito bene come funzionano le cose e se non ho fatto errori, deve restare.

Edit: Ho sistemato i passaggi in [1].

da **Ianero** » 22 dic 2017, 17:26

Forse prima mi stavi dicendo che ti interessava leggere proprio lo sviluppo quando il campo diventa variabile nel tempo, ottenendo la conducibilità in funzione della frequenza, nel caso stasera te lo posto, ora finisco di studiare prima :-)

da **DanteCpp** » 22 dic 2017, 17:42

Ianero ha scritto: $\left \langle t_n \right \rangle - \left \langle t_{n-1} \right \rangle$ .

Nel modello di Drude questi intervalli di tempo vengono approssimati come costanti e chiamati $\tau$

Non credo sia un approssimazione, quei valori sono costanti perché sono una media,

$\langle t_i - t_{i-1} \rangle = \frac1N \sum_i^N (t_i - t_{i-1} )$

$\frac1N \sum_i^N t_i -\frac1N \sum_i^N t_{i-1}$

$\left \langle t_n \right \rangle - \left \langle t_{n-1} \right \rangle=\tau$ .

(N numero totale di collisioni per una particella)

Secondo me il due non ha motivo di esserci. Comunque sarebbe interessante vedere l'analisi per campi non stazionari. :mrgreen:

da **Ianero** » 23 dic 2017, 0:16

Eccomi, allora..
Non ho capito bene ma facciamo così:

$\underline{v_m}(t)=-\frac{e}{m}\left (t-\left \langle t_n \right \rangle \right )\underline{\mathfrak{E}}_0$

Fino a qua ti trovi?

da **DanteCpp** » 24 dic 2017, 14:20

A dire il vero, no!

da **DanteCpp** » 24 dic 2017, 15:53

Supponi di voler stimare la resistenza di un solido conoscendone le caratteristiche geometriche macroscopiche (lunghezza, sezione) e microscopiche (distanza tra gli ioni, struttura reticolare).
Si potrebbe pensare un algoritmo del tipo:

Codice: Seleziona tutto: 1) posiziona gli ioni nelle correte posizioni reticolari 2) posiziona un elettrone ad un estremità del solido con velocità iniziale casuale 3) pertanto che l'elettrone non raggiunge l'altra estremità del solido 1) se l'elettrone non è nella posizione di uno ione - aggiorna la velocità elettrone, moto uniformemente accelerato altrimenti - aggiorna velocità urto anelastico - salva il tempo di avvenimento dell'urto 2) aggiorna la posizione dell'elettrone 3) aggiorna il tempo (t=t+dt) 4) calcola e salva la media degli intervalli temporali tra una collisione e l'altra 5) ripetere i passi da 2 a 5 per un numero considerevole di elettroni 6) calcolare la media tra gli intervalli medi

il tempo medio prodotto dall'algoritmo dovrebbe essere il Tau del modello di Drude.

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Velocità di deriva

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