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da **Peternek** » 29 mag 2018, 17:06

Ciao a tutti! Vi chiedo per favore di aiutarmi: sto cercando di capire la formula dietro alla massima capacità di un canale AWGN. Per una certa banda B e con un certo SNR, viene indicata dappertutto come:

$C=B\log_2(1+SNR)$ misurata in bit/s.

Il mio dubbio è la banda B è la frequenza con la quale vengono trasmessi i simboli o è 1/2 di quella frequenza? perché la formula in realtà viene fuori da certi conti di capacità "per simbolo" che non tiene conto della banda ma misura quanta informazione può trasmettere in un periodo che a sua volta contiene 0.5 infatti :

Capacità per simbolo: $C_s=0.5 \log_2(1+SNR)$ misurata in Bits/s/Hz.

Infatti in una notazione ho trovato B=1/(2T). Qualcuno ha qualche idea a riguardo?

da **clavicordo** » 30 mag 2018, 15:37

Allora. Chiamiamo M il numero di stati possibili. Se ogni stato (=segnale) rappresenta un numero k di bit, la Capacità del canale, in assenza di limitazioni (banda, rumore) sarà in bit/s
C = r log(M) bit/s; dove il log è in base 2. Ossia:
C = r k bit/s;
se M = 2 soli stati, chiaramente k = 1, perché 1 bit richiede 2 stati, 0 e 1) per essere rappresentato.
Guardando la prima formula sopra, di vede che la capacità può essere raddoppiata o raddoppiando la velocità, o elevando al quadrato il numero degli stati.
In un canale continuo con banda B, la r deve essere minore o uguale al doppio della banda del canale, cioè r<= 2B, dove il segno = si applica de i segnali sono del tipo "sinc" ossia senx/x.
Quindi:

C<= 2B log(M)

Per trovare M nel caso continuo bisogna considerare il rumore nel canale.
Siano S e N le potenze del segnale e del rumore. Bisogna ragionare in termini di probabilità alla ricezione,dove il segnale rms sarà RadQ(S+N). Ora, per distinguere gli stati tra loro con bassa probabilità di errore, possiamo ritenere che i segnali siano "spaziati" tra loro di una quantità RadQ(N), ossia la deviazione standard ("sigma") del rumore.
Il massimo numero di stati M è quindi il rapporto RadQ(S+N)/RadQ(N). Quindi, sostituendo:

C= r log(M) = 2B log(RadQ(S+N)/RadQ(N)) = B log (1+S/N) che per valori abbastanza alti di S/N) diventa
C= B log (S/N) bit/s

Quindi B è la banda del canale! La Capacità è un dato del canale e indica la velocità massima di segnalazione, una volta massimizzata l'entropia della sorgente.

Spero che questo ti abbia chiarito-

da **Peternek** » 30 mag 2018, 17:53

Grazie mille! Dopo la Sua spiegazione ho capito il senso della formula e so applicarla ma mi rimane un dubbio di notazione:
sarò pignolo ma per sicurezza la r da Lei indicata è solo un parametro che dipende dal tipo di canale?
Non ha nulla a che vedere con il rate che solitamente viene indicato con la R ma che essendo quello del segnale può essere al massimo uguale alla capacità del canale giusto?

da **clavicordo** » 30 mag 2018, 22:23

La r è la velocità di emissione dei segnali da parte della sorgente. Attenzione: segnali/secondo non è ncessariamente bit/secondo, perché un segnale può rappresentare un gruppo di bit. Ad esempio un modem a 4800 bit/s ha una signalling rate di 1600 segnali al secondo perché una 8 segnali diversi, di cui ognuno rappresenta 3 bit.
La signalling rate, in un canale analogico, certamente non può superare il doppio della Banda del canale, Ma la bit rate è il risultato del prodotto di signalling rate (Banda) e log(S/N), Se la banda del canale è insufficiente, si può agire sui livelli, ammesso che il S/N sia abbastanza alto da consentirlo, per aumentare la bit rate sul canale.
La Capacità del canale è infatti il prodotto delle due.
Se non è ancora chiaro, continua a scrivermi, non avere paura di esternare dubbi che ti possano sembrare anche stupidi! Fin dove posso, ti risponderò :-)