ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **Ianero** » 8 ago 2018, 9:21

Non riesco a capire dove sbaglio nel cercare di dimostrare l'enunciato seguente:

$\left | \frac{1+\sqrt{5}}{2}-R_k \right |>\frac{1}{Q_k^2\sqrt{5}}$

dove R_k

sono le convergenti della frazione continua [1;1,1,...]

e

è il k-esimo numero di Fibonacci.

Io ho prima dimostrato che la successione di Fibonacci si può scrivere tenendo in conto solo di un termine precedente anziché di due:

$Q_{k+1}=\frac{Q_{k}}{2}\left(1+\sqrt{5-\frac{4(-1)^k}{Q_{k}^2}}\right)$

Sapendo inoltre che $R_k=\frac{Q_{k+1}}{Q_k}$ arrivo all'espressione esatta dell'errore tra le convergenti R_k

e il loro valore limite:

$E_k=\left | \frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{Q_{k+1}}{Q_k} \right | =\frac{(-1)^{k+1}}{2}\left( \sqrt{5}-\sqrt{5+\frac{4(-1)^k}{Q_k^2}} \right)$

ma già nel caso

pari, imponendo la condizione da dimostrare si ottiene un falso, e cioè:

$-\frac{1}{2}\left( \sqrt{5}-\sqrt{5+\frac{4}{Q_k^2}}\right) >\frac{1}{Q_k^2\sqrt{5}} \Rightarrow 0>\frac{4}{Q_k^4}$

che è assurdo.

Non riesco a capire cosa ci sia che non va nei passaggi logici.
Se serve qualche calcolo in più relativamente a qualche specifico passaggio ditemi pure e provvederò a postarlo in modalità "verbose" :mrgreen:

Grazie in anticipo.

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Fibonacci e frazioni continue

[1] Fibonacci e frazioni continue

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