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da **EcoTan** » 26 gen 2019, 9:03

Andrea2000 ha scritto:anche la delta è una successione continua di valori, tranne che in zero, dove osservo due discontinuità: da 0- a 0 e da 0 a 0+.

Eh no, oltre alle due discontinuità osservi un salto all'infinito.
Tornando alla Terra, hai preso la antitrasformata da una tabella o la hai calcolata?

da **Andrea2000** » 26 gen 2019, 16:26

All'antitrasformata di che cosa? Scusa ma non ho capito a cosa ti riferisci.

da **EcoTan** » 26 gen 2019, 16:30

Andrea2000 ha scritto: $L^{-1}\left [ 1 \right ]-\frac{R}{L}L^{-1}\left [ \frac{1}{s+\frac{R}{L}} \right ]=\delta (t)-\frac{R}{L}\cdot e^{-\frac{R}{L}\cdot t}$

da **Andrea2000** » 26 gen 2019, 16:45

Ah, ho capito. I calcoli sono quelli già indicati nel post di apertura della discussione. Il passaggio finale, quello dell'antitrasformata, l'ho fatto attingendo dalla tabella (naturalmente).
:-)

da **Andrea2000** » 27 gen 2019, 14:25

Cia Pietro, quel che scrivi qui:

L’ho scritto nel post in cui parlavo delle sue dimensioni.
Se integri la delta su tutto R ti ritrovi 1, o, se preferisci essere più formale, puoi scrivere la funzione di campionamento che realizza la delta:

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \cdot \delta(t) \text{d}t=f(0)$

Applicando l’operatore [\cdot], cioè “dimensioni di” ottengo che

$[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \cdot \delta(t) \text{d}t]=[f(0)]$

$[f(t)] \cdot [\delta(t)] [\text{d}t]=[f(0)]$

Ovviamente le unità di misura di f sono le stesse, indipendentemente dal punto in cui la valuto, per cui posso semplificare [f(t)] con [f(0)]:

$[\delta(t)] [\text{d}t]=1$

$[\text{d}t]=s$

Dove quella s sta per “secondi”, quindi:

$[\delta(t)] =1/s$

mi pare interessante e contribuisce, certamente, ad illuminare ancor più questo argomento così ostico per me.

Però, tu parti da una premessa che dai per vera: la proprietà di campionamento della delta. Ma noi come sappiamo che è vera?

Ho provato a seguire un altro ragionamento:
- considero la delta come limite di una gaussiana.
- La gaussiana, essendo una funzione di densità di probabilità, ha la proprietà di avere l'integrale pari ad 1 (quando gli estremi di integrazione vanno da meno infinito a più infinito).

E allora scrivo:

$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t) \text{d}t=1$

ma il secondo membro, trattandosi di una probabilità, è un numero puro. E allora la delta deve avere dimensioni:

$[\delta(t)] =\left [ s^{-1} \right ]$

Sbaglio qualcosa?
Grazie, come sempre.
:-)

da **PietroBaima** » 27 gen 2019, 19:10

puoi vederla anche cosí, certo.

Nel mio esempio invece la delta é nulla dappertutto tranne che in zero, quindi l’integrale é nullo ovunque tranne che in zero.
L’area della delta é uno, moltiplicata per il valore della funzione in zero, unico possibile.

da **Andrea2000** » 29 gen 2019, 16:22

Salve Pietro,
è un piacere leggerti.

Allora, la proprietà di campionamento della delta (o di screening) mi è matematicamente oscura. Tu dici che il risultato è f(0) ed io ci credo (anche perché anche nel mio manuale c'è scritto così).

Però non riesco a vederlo, questo risultato.

L'integrale definito, da quel che ho capito, è un'area. E' vero che questo è un integrale improprio ma presumo che sempre un'area debba essere.

In sostanza io vado a sommare tante (infinite) aree elementari ciascuna di base dt e di altezza pari al prodotto della delta per la f(t). Ora, il prodotto della delta per f(t) è sempre nullo lungo tutto l'asse dei tempi tranne che in zero. In zero che cosa accade? Che la delta tende ad infinito ed f(t) assume valore f(0). Ora, in zero, tale prodotto non dovrebbe tendere ad infinito? E allora? Come fa a diventare f(0)?

Non lo so, mi perdo! Forse perché si tratta di un integrale improprio?
Forse perché la delta, come leggo da altre parti, non è proprio una funzione nel senso classico della definizione di funzione ma una distribuzione (e qui mi perdo due volte)?
Forse perché quando moltiplichiamo infinito per un infinitesimo (la larghezza di dt) possiamo ottenere qualcosa di finito?

Aiuto!

da **PietroBaima** » 29 gen 2019, 21:26

E' molto più semplice di quello che pensi.
La matematica è semplice, i ragionamenti per arrivare alla matematica semplice meno :mrgreen:

Comunque, partiamo dal finito.
Immaginiamo di moltiplicare la funzione per una porta, centrata in zero, di ampiezza a e di altezza 1/a, in modo che la sua area sia sempre unitaria.
Poi integriamo la funzione f(t).

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

Chiaramente se moltiplico la mia funzione per questa porta, la funzione si annulla dappertutto tranne che fra -a/2 e a/2.

$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot p_a(t)\text{d}t=\int_{-a/2}^{a/2}f(t)\cdot \frac{1}{a} \ \text{d}t$

adesso non devo fare altro che calcolare il limite dell'integrale per a che tende a zero per trasformare la porta in una delta di Dirac.

$\lim_{a \to 0} \int_{-a/2}^{a/2}f(t)\cdot \frac{1}{a} \ \text{d}t=\lim_{a \to 0} \frac{F(a/2)-F(-a/2)}{a}$

dove con F (maiuscolo) intendo la primitiva di f (minuscolo).
Uso il teorema di De l'Hôpital per risolvere il limite.

$\lim_{a \to 0} \frac{F(a/2)-F(-a/2)}{a}=\lim_{a \to 0} \frac{1}{2}f(a/2)+\frac{1}{2}f(-a/2)=f(0)$

Come semplice esercizio puoi provare che se la porta è centrata in b, allora integrando si ottiene f(b).

:mrgreen:

da **Andrea2000** » 30 gen 2019, 0:00

Davvero incredibile. Intendo, davvero incredibile che cominci a capirci qualcosa!

Allora, vediamo se ho capito sul serio. Immaginiamo che la porta sia centrata in b.

$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\cdot p_a(t)\text{d}t=\int_{b-a/2}^{b+a/2}f(t)\cdot \frac{1}{a} \ \text{d}t$

Ora calcolo il limite dell'integrale per a che tende a zero per trasformare la porta in una delta.

$\lim_{a \to 0} \int_{b-a/2}^{b+a/2}f(t)\cdot \frac{1}{a} \ \text{d}t=\lim_{a \to 0} \frac{F(b+a/2)-F(b-a/2)}{a}$

con F primitiva di f.

Proseguo con l'uso del teorema di De l'Hôpital per risolvere il limite.

$\lim_{a \to 0} \frac{F(b+a/2)-F(b-a/2)}{a}=\lim_{a \to 0} \frac{1}{2}f(b+a/2)+\frac{1}{2}f(b-a/2)=f(b)$

Corretto?
Grazie.
:-)

da **PietroBaima** » 30 gen 2019, 0:51

Perfetto.

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