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da **PietroBaima** » 30 gen 2019, 10:36

ricapitolando:

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \ \delta(t) \ \text{d}t=f(0)$

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \ \delta(t-t_0) \ \text{d}t=f(t_0)$

$\int_{-\infty}^{+\infty}f(t) \ \sum_{i=0}^{k} \ \delta(t-t_i) \ \text{d}t=\sum_{i=0}^{k} \ f(t_i)$

Inciso:
Una notazione molto molto usata in meccanica quantistica per accorciare la scrittura è questa:

$\langle \delta _{t_{0}}|f\rangle =\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (t-t_{0})f(t)\ \text {d} t=f(t_0)$

Per adesso prendila come curiosità su una notazione. Se e quando studierai meccanica quantistica ti sarà molto utile.

da **Andrea2000** » 30 gen 2019, 17:23

Grazie mille Pietro, questa me la segno sicuramente! A prescindere che il mio futuro percorso di studi sia quello della fisica o dell'ingegneria. Ancora grazie.

A questo punto si può proseguire con il post. Soprattutto mi preme comprendere due questioni:
1. quando applico una delta all'ingresso di un circuito, e alla luce degli ultimi post a proposito delle dimensioni della delta stessa, come dimensiono quelle due costanti che, alla fine della fiera, consentono di avere un segnale dimensionalmente espresso in volt?
2. Ma, soprattutto, come si traduce praticamente tutto questo? Ovvero, se voglio sperimentalmente misurare la fdt di un sistema, e non potendo applicare al suo ingresso una delta (la cui trasformata come sappiamo è 1) che cosa applico? E che errore ottengo?

Un'idea della risposta al punto 2 ce l'ho: applico un impulso isolato (ovvero un segnale impulsivo con duty cycle prossimo a qualche percento). Però poi mi perdo. Ho ancora bisogno che qualcuno mi prenda per mano e mi accompagni in questa "selva oscura".

Con tutta la calma del mondo, naturalmente. Io sono a favore dei ritmi lenti, soprattutto quando si tratta di capire le cose.
Grazie.
:-)

da **IsidoroKZ** » 31 gen 2019, 10:27

I segnali di test più comuni sono il graduno, per la misura nel dominio del tempo, oppure sinusoidale a frequenze diverse, per la misura nel dominio della frequenza, e in qualche raro caso il rumore bianco, sempre nel dominio della frequenza.

da **EcoTan** » 31 gen 2019, 10:28

IsidoroKZ ha scritto:il graduno

Non correggerlo, eccezionale

da **MarcoD** » 31 gen 2019, 10:37

neologismo (nuova parola) :ok:

: gradino di uno: graduno gradino unitario O_/

da **Andrea2000** » 31 gen 2019, 23:52

I segnali di test più comuni sono il graduno, per la misura nel dominio del tempo, oppure sinusoidale a frequenze diverse, per la misura nel dominio della frequenza, e in qualche raro caso il rumore bianco, sempre nel dominio della frequenza.

Quindi l'impulso no? Non l'avrei detto visto che l'applicazione della delta consentirebbe di avere la trasformata dell'uscita pari alla funzione di trasferimento. E' pur vero che la delta non è fisicamente riproducibile.
Debbo ancora metabolizzare molto, di questo argomento, scusate.

da **PietroBaima** » 1 feb 2019, 13:05

Andrea2000 ha scritto:1. quando applico una delta all'ingresso di un circuito, e alla luce degli ultimi post a proposito delle dimensioni della delta stessa, come dimensiono quelle due costanti che, alla fine della fiera, consentono di avere un segnale dimensionalmente espresso in volt?

Molto semplicemente sai, riguardando i post precedenti, che la delta si misura in secondi alla meno uno.
In generale la dimensione della delta è l'inverso della dimensione del suo argomento.
Una delta spaziale, misurata in metri, per esempio, avrà come unità di misura metri alla meno uno.
Un segnale nel tempo è espresso in secondi, quindi la delta si misura in secondi alla meno uno.
Se applichi un ingresso in tensione dovrai quindi far tornare le unità di misura moltiplicando la delta per una costante di tempo, moltiplicata ancora per una tensione.
Se applichi in ingresso in corrente invece avrai una costante di tempo per una corrente.
Questo, come ti ha già fatto correttamente notare

EdmondDantes, equivale ad eccitare la rete con un flusso oppure con una carica, ma se vuoi di questo ne parliamo poi.

Andrea2000 ha scritto:2. Ma, soprattutto, come si traduce praticamente tutto questo? Ovvero, se voglio sperimentalmente misurare la fdt di un sistema, e non potendo applicare al suo ingresso una delta (la cui trasformata come sappiamo è 1) che cosa applico? E che errore ottengo?

Un'idea della risposta al punto 2 ce l'ho: applico un impulso isolato (ovvero un segnale impulsivo con duty cycle prossimo a qualche percento)

Come ti ha detto già il gattone, a livello pratico ci sono diversi segnali che puoi applicare per approssimare l'uscita con la funzione di trasferimento.
se vogliamo ragionare con la delta, dato che non è possibile generarla praticamente, quello che puoi fare è approssimarla con una porta alta e stretta.
L'errore che commetti è proporzionale a quanto riesci ad approssimarla bene.
Per semplicità usiamo la trasformata di Fourier, e non quella di Laplace.
Se la approssimi male la tua delta, questa sarà equivalente più ad un segnale costante che ad una delta, e la trasformata di una costante è proprio la delta (in frequenza stavolta).
Quindi se applichi un segnale costante ad una rete (unilatero, cioè che nasce al tempo t=0) ne valuterai la risposta unicamente in zero.
Hai applicato un segnale per un tempo infinito alla rete e ne ottieni una risposta in frequenza concentrata in zero.
Ti faccio notare che non solo la delta non esiste, ma anche un segnale che nasce in zero e poi continua ad esistere per t>0 fino ad infinito non esiste.

Facciamo ora la cosa opposta. Applichiamo una delta all'ingresso. Ne ottengo un segnale costante in frequenza, perché la trasformata della delta è uno (in frequenza).
Cioè ho applicato un segnale che esiste solo in t=0 e ne ricavo il comportamento della rete per ogni frequenza, per ogni omega>0.

Nei casi intermedi? Gli operatori di trasformazione integrale, come Fourier o Laplace, sono lineari.
Questo significa anche che nei casi intermedi avrò un comportamento intermedio.
Cioè tanto più sarà largo il mio impulso nel tempo tanto più sarà stretta la risposta in frequenza e viceversa, cioè tanto più sarà stretto il mio impulso nel tempo tanto più sarà larga la risposta in frequenza.

O detto ancora in un altro modo: tanto meglio esploro il comportamento nel tempo della rete tanto peggio ne esploro il comportamento in frequenza e viceversa.

Cosa abbiamo scoperto?
Abbiamo scoperto il principio di indeterminazione di Heisemberg.

Facciamo una prova pratica: voglio calcolare la trasformata di Fourier (la approssimo numericamente con la FFT) e stringo il comportamento nel tempo, ricavandone una animazione:

: fourier.gif (279.7 KiB) Osservato 5401 volte

Come vedi quando il segnale nel tempo è "stretto" la risposta in frequenza è praticamente "piatta" e viceversa.
Noterai anche che fra una condizione e l'altra si hanno delle "frange di interferenza" ;-)

Questo, in analisi complessa, si vede bene con le wavelet, la generalizzazione delle trasformate tempo-frequenza.

Una trasformata tempo frequenza molto semplice (come quella che ti ho riportata qui sopra nella animazione ;-)

) permette di visualizzare molto bene il principio di indeterminazione.

Per ora direi che puoi digerire questo.

da **Andrea2000** » 3 feb 2019, 0:29

Si, hai detto bene, servirà un po' di tempo per digerire tutto questo. #-o

Ho letto il post ma, onestamente, devo rileggerlo e, probabilmente, rileggerlo ancora.

Spero a breve, tra qualche giorno, di poter dare una risposta che abbia senso.

Grazie Pietro.
:-)

da **EdmondDantes** » 3 feb 2019, 22:36

Definendo la funzione delta di Dirac come:

$\delta \left ( t \right )=\left\{\begin{matrix} +\infty & \textup{per}\: t= 0\\ 0& \textup{per}\: t\neq 0 \end{matrix}\right.$

la seguente proprieta':

$\int_{-\infty }^{+\infty }\delta \left ( t \right )\textup{d}t=1$

deve essere interpretata con il seguente significato:

$\int_{-\infty }^{+\infty }\delta \left ( t \right )\textup{d}t=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{-\infty }^{+\infty }\delta_{\epsilon } \left ( t \right )\textup{d}t$

dove
$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}\delta_{\epsilon } \left ( t \right )=\left\{\begin{matrix} +\infty & \textup{per}\: t= 0\\ 0& \textup{per}\: t\neq 0 \end{matrix}\right.$

$\int_{-\infty }^{+\infty }\delta_{\epsilon } \left ( t \right )\textup{d}t=1$

Esistono infinite $\delta_{\epsilon } \left ( t \right )$ .
Una di queste $\delta_{\epsilon } \left ( t \right )$ e' quella richiamata da

PietroBaima in [28].

da **Andrea2000** » 5 feb 2019, 13:00

Perdonami, EdmondDantes, ma capisco davvero poco.

Qui i miei dubbi.

a.

deve essere interpretata con il seguente significato:

$\int_{-\infty }^{+\infty }\delta \left ( t \right )\textup{d}t=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{-\infty }^{+\infty }\delta_{\epsilon } \left ( t \right )\textup{d}t$

ma la delta dipende (anche) dalla variabile $\epsilon$ ? E in che modo si manifesta questa dipendenza? Lo chiedo perché, altrimenti, non saprei come fare il limite.

b. E poi, perché il limite destro? Ma la delta non è una funzione pari? Oppure non c'entra nulla?

c.

Esistono infinite $\delta_{\epsilon } \left ( t \right )$ .

Questa l'ho capita (almeno credo).
Due di queste infinite delta potrebbero essere:

i) a partire da una funzione che potremmo chiamare "triangolo isolato" così definita:
- larghezza pari ad a con centro nell'origine;
- altezza pari a 2/a;
e quindi area unitaria. Poi si fa il limite per a che tende a zero.

Rispetto alla "porta" indicata da Pietro qui avremmo la continuità del segnale lungo tutto l'asse dei tempi. Non avremmo, però, derivabilità nei tre punti di cuspide.

ii) a partire da una Gaussiana, il cui integrale da meno infinito a più infinito è pari ad 1, facendo tendere a zero la varianza (credo).
In questo caso avremmo sia il vantaggio della continutità che della derivabilità lungo tutto l'asse dei tempi.

:-)

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