ElectroYou - la comunità dei professionisti del mondo elettrico

da **MonkeyDRufy** » 8 feb 2020, 15:57

ciao, grazie per il tuo tempo.

non saprei come definirlo, so che $a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}$ ma non mi viene una costruzione in mente, direi che le cose stanno così "per definizione".

da **Ianero** » 8 feb 2020, 16:02

Ok, quella definizione va bene, che si dimostra essere la stessa cosa di $\left (\sqrt[q]{a} \right )^p$ .

Facciamo un percorso a tappe.
Ora la prima cosa che devi fare è dimostrare che $r_1<r_2\implies a^{r_1}<a^{r_2}$ , con $r_1,r_2\in\mathbb{Q}$ .
Provaci, così andiamo avanti ;-)

da **MonkeyDRufy** » 8 feb 2020, 16:23

se

allora

allora $a^{r_2} = a^{r_1}a^{r_3}$

e da a>1

si conclude che $a^{r_2} > a^{r_1}$

da **Ianero** » 8 feb 2020, 17:55

Hai dato per noto che a^r>1

qualsiasi sia $r\in\mathbb{Q}$ , il che è vero, ma devi sapere che anche quello va dimostrato.
In ogni caso, possiamo proseguire.
Ora dobbiamo far vedere che $\lim_{\mathbb{Q}\ni r\to r_0\in\mathbb{Q}}a^r=a^{r_0}$ , in modo da aver costruito una funzione $r\mapsto a^r$ nel dominio dei razionali, con queste caratteristiche.

1. a>1

2. $a^{r_1}a^{r_2}=a^{r_1+r_2}$ (che supponiamo tu sappia dimostrare)
3. $r_1<r_2\implies a^{r_1}<a^{r_2}$
4. $a^{r_1}\to a^{r_2}$ quando $\mathbb{Q}\ni r_1\to r_2 \in\mathbb{Q}$

da poter poi ampliare nel dominio reale.

da **MonkeyDRufy** » 8 feb 2020, 18:16

Ma ad esempio il punto 4. non segue direttamente dal punto 3.?

a,b in Q con a<b ho che esiste sempre in q l'elemento di mezzo ossia a< (a+b)/2 < b da cui posso trovare una successione di razionali arbitrariamente vicini al numero b.
Dal punto 3. segue che il limite è b.

per ampliare nel dominio reale mi basta dire che per ogni successione di razionali i cui elementi si avvicinano l'un l'altro in modo arbitrariamente piccolo, si ha che esiste il limite (e questa è la proprieta di completezza), dal fatto che ho preso una successione di razionali esiste per ogni elemento r_i il numero a^r_i e dunque il limite è l'estremo superiore di questa successione che esiste per assioma.

da **Ianero** » 8 feb 2020, 18:31

MonkeyDRufy ha scritto:Ma ad esempio il punto 4. non segue direttamente dal punto 3.?

a,b in Q con a<b ho che esiste sempre in q l'elemento di mezzo ossia a< (a+b)/2 < b da cui posso trovare una successione di razionali arbitrariamente vicini al numero b.
Dal punto 3. segue che il limite è b.

Certo che no.
Hai trovato una successione di razionali che si avvicina ad un razionale, e quindi? Che c'entra?
Forse volevi usare il teorema ponte? Ma dovresti dimostrare che la proposizione vale per ogni possibile successione di razionali che tendono a r_2

... E' ancora peggio.
Dimostralo con il ragionamento standard dei limiti.

da **MonkeyDRufy** » 8 feb 2020, 18:49

hai ragione.

per ora guarda Ianero mi sto imballando, la teoria dei limiti non la ho ancora affrontata, per di più mi sembrano cose talmente ovvie che paradossalmente non riesco a dimostrare, ti ringrazio infinitamente per avermi concesso il tuo tempo, ci proverò con calma in questi giorni e se riuscirò a sbrogliare la matassa inserirò la soluzione. grazie ancora

da **Ianero** » 8 feb 2020, 22:05

Come è possibile che ti chiedano di dimostrare una cosa come questa senza aver visto i limiti? :-M

da **MonkeyDRufy** » 8 feb 2020, 23:08

Nel secondo link di rugweri ad esempio c'è una dimostrazione che non fa uso dei limiti... Quella dimostrazione mi va bene, mancava solo da dimostrare che esiste x in R t. c. b^x > y (perché in quella risposta rimane vagha la cosa).

da **Ianero** » 9 feb 2020, 9:15

Basta prendere

pari a un numero naturale sufficientemente grande, poiché b>1

.

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Analisi su R, esistenza del logaritmo

[11] Re: Analisi su R, esistenza del logaritmo

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