La Zo di una linea di trasmissione.

[luigi_48]

Tenere il confronto con Ianiero ed EcoTan (che di nuovo ringrazio) mi risulta difficile. Non ho, ahimè, la loro preparazione. Ma ho fatto queste semplici considerazioni, agganciate a quanto da loro esposto :
a mano ho calcolato la resistenza equivalente della rete supponendo sia composta da quattro elementi in serie (1 ohm) alternati da altrettanti elementi in parallelo (2 ohm).
La Req0 = 1+2=3 ohm Poi ho aggiunto 1 cella serie - parallelo.
La Req1 = 2.2 ohm Poi ho aggiunto 1 cella serie - parallelo.
La Req2 = 2.04 ohm Poi ho aggiunto 1 cella serie - parallelo.
La Req3 = 2.01 ohm Qui ho capito due cose:
1° - che la funzione ricorrente è f(xn)=1+ (2*xn)/(2+xn).
2° - che la funzione è monotona decrescente e quindi ammette limite per n tendente infinito e vale “h” per cui
h=1+(2*h)/(2+h). Da cui h=2 ohm.
Il procedimento non è tanto raffinato ma mi sembra porti comunque a conclusione. Non so se in un compito in classe il prof. accetterebbe una cosa simile. Ma, in pratica, secondo voi si può procedere così?

[EcoTan]

Allora se al posto di 1 mettiamo j Omega L, e al posto di 2 mettiamo 1/j Omega C, potremmo arrivare all'impedenza caratteristica? (ma poi sarebbe più semplice?)

[Ianero]

Direi di no, poiché anche per la semplice rete di resistenze che abbiamo considerato fin qui non è vero. Infatti, una linea di trasmissione con una resistenza serie di e una conduttanza parallelo di ha una impedenza caratteristica di , che è diversa dai trovati come limite della successione di celle precedente.

[luigi_48]

Dopo tutte le considerazioni fatte nei post precedenti, ho provato a denominare gli elementi di una linea di trasmissione in questo modo:
s --> R+jwL
p --> G+jwC
Ho ripreso l'equazione trovata per la Req della rete cc il cui lim per n --> infinito dava:
h=1+(2*h)/(2+h)
e l'ho utilizzata in questo modo:
h-->Zo
1-->s
2-->p
Ho ottenuto che Z0 = (s+- s* SQR(s^2+4s*p))/2 che è ben diversa da quella dei telegrafisti.
Probabilmente se si lavora in continua va bene ma se si lavora in alternata con i numeri complessi, non va bene.
E pensare che tutti hanno sempre detto che tra il modello in continua e quello in alternata c'è sempre compatibilità. E' senz'altro così. Bisogna però che i modelli siano creati in maniera corretta. Ed è questo che io non ho saputo fare. Per cui, per ora, avanti coi telegrafisti!
Un saluto a tutti.

[PietroBaima]

No, non è vero che non vale in alternata.
Bisogna solo fare le cose fatte bene.
Tu hai una rete di resistori, dalla quale si può estrarre un blocco ripetitivo.
Il metodo di considerare che la rete è infinita quindi la resistenza equivalente è la stessa dopo ogni blocco (se i blocchi sono infiniti) non mi è mai piaciuto tanto, perché bisognerebbe prima dimostrare che la successione converge.
Gli elettrotecnici mi dicono che questa sia filosofia, perché se la rete è reale deve per forza convergere.
Non mi piace lo stesso.
E ho ragione
Perché? Perché se infilo nella rete delle resistenze che hanno un valore negativo non è detto che la successione converga.
Per esempio, in una linea di trasmissione (disadattata) l'impedenza equivalente NON è la stessa in tutti i punti della linea.
Come vedremo fra poco questo può capitare anche con le resistenze!

Io ho un blocco ripetitivo di questo tipo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

ATTENZIONE: non sto ripetendo la teoria che porta alle equazioni dei telegrafisti, perché in quel caso si considera un tratto infinitesimo di linea, mentre qui sto considerando un tratto finito, con due resistori che posso toccare.

Le equazioni di questo elemento sono:


e


che posso rimanipolare per formare una matrice di trasmissione



Se elevo la matrice trovata alla n conoscerò la matrice T di una cascata formata da n blocchi di quel tipo.
Per farlo è sufficiente diagonalizzare o jordanizzare, calcolare una base di autovettori, bla bla bla
MA
io sono vecchio, pigro e stanco, per cui la mia mano destra (che ormai non sa più che fa la sinistra) apre in automatico Mathematica e digita il comando

Codice: Seleziona tutto

T[R1_, R2_, n_] := MatrixPower[{{1 + R1/R2, R1}, {1/R2, 1}}, n]

Una volta ottenuta questa matrice ho una situazione di questo tipo:

Sorgente FidoCadJ | Ingrandisci | Cos'è Fidocad

dove devo calcolare l'impedenza vista alla porta di ingresso a sinistra.
Per farlo devo ovviamente sapere su cosa è chiusa la porta di destra.
Facciamo l'ipotesi che la porta di destra sia lasciata aperta, cioè In=0.
In questo caso l'impedenza di ingresso è semplicemente il rapporto fra e .

Con la solita pigrizia che mi caratterizza faccio fare il conto a Mathematica:

Codice: Seleziona tutto

In[80]:= Req[R1_, R2_, n_] := T[R1, R2, n][[1, 1]]/T[R1, R2, n][[2, 1]]

In[94]:= Req[R1, R2, n] // FullSimplify

Out[94]= 1/2 Sqrt[R1] (Sqrt[R1] +
   Sqrt[R1 +
     4 R2] (1 +
      2/(-1 + ((R1 + 2 R2 - Sqrt[R1] Sqrt[R1 + 4 R2])/R2)^-n ((
         R1 + 2 R2 + Sqrt[R1] Sqrt[R1 + 4 R2])/R2)^n)))

Cerchiamo di scrivere la formula che abbiamo ottenuto in modo human readable.
Definiamo
A questo punto quella formula si può riscrivere in questo modo:



Supponiamo ora che n vada ad infinito, cioè di far crescere il numero di blocchi ripetitivi indefinitamente.

Vogliamo quindi calcolare:


che è facile da fare, perché il termine



tende sicuramente a zero, in quanto il numeratore è sempre più piccolo del denominatore (se non ci credete scrivete la disequazione).
ATTENZIONE: Questo è vero se k è reale. Se k è complesso il limite potrebbe NON ESISTERE!
(perché potrebbe non esistere? perché se k è complesso si ha un numero complesso elevato alla n, cioè il limite converge solo se il modulo del numero complesso è minore di uno).

Si ha quindi che:



oppure, esplicitando k



Vediamo... se il rapporto fra R2 ed R1 vale 1 si trova la sezione aurea moltiplicata per R1, se il rapporto fra R2 ed R1 vale 2 trovo 2 R1, che sono i risultati già trovati.

Cosa succede se invece di lasciare l'uscita della matrice T alla n aperta la collego in corto circuito?
In questo caso la resistenza equivalente vista all'ingresso è il rapporto fra e .
Ripeto tutti i passaggi finora svolti e trovo che:



che è una funzione diversa da quella di prima, ma, nota bene, quando vado a fare il limite per portare il numero di blocchi ad infinito ottengo che:



oppure, esplicitando k



In pratica si ha che

La resistenza vista dagli ingressi, quando si ha un numero infinito di blocchi, è uguale in entrambi i casi.
Questo è logico, proprio perché si ha un numero infinito di blocchi.

Cosa succede se invece chiudo la matrice T elevato alla n su una resistenza di valore Ro?
In questo caso devo calcolare:



Definiamo:



si ha che



Calcolando il limite per n che tende ad infinito, nuovamente, trovo che:



In pratica si ha che

che appare logico, anche in questo caso.

In queste condizioni la resistenza converge sempre verso i valori che si possono trovare facendo i limiti.

Questo è un grafico di esempio che riporta in ascissa il numero n di blocchi e in ordinata il valore della resistenza per rispettivamente in rosso, blu e giallo.

Z.jpg (7.16 KiB) Osservato 8427 volte

ma... cosa succede se, introducendo una resistenza negativa, il valore di k diventa immaginario?

Una resistenza positiva è un oggetto che trasforma energia elettrica in calore, quindi è l'espressione del fatto che c'è dell'energia, nel circuito, che lascia definitivamente il mondo elettrico per trasformarsi in calore.
La resistenza si riscalda e l'energia necessaria per riscaldarsi è sottratta al mondo elettrico.

Una resistenza negativa è un oggetto che trasforma calore in energia elettrica, quindi è l'espressione del fatto che c'è dell'energia, nell'ambiente, che lascia definitivamente il mondo termico per trasformarsi in energia elettrica.
La resistenza si raffredda e l'energia necessaria per raffreddarsi è ceduta al mondo elettrico.
Purtroppo la termodinamica stabilisce che una resistenza negativa non sia realizzabile (si può simulare con dei circuiti, ma non costruire fisicamente).
Se possiamo simularla (con un NIC, per esempio) potrebbe valere la pena capire cosa succeda in un circuito di questo tipo...
In questo caso il limite non converge, per cui la resistenza equivalente dipende dal numero di blocchi inseriti in cascata.
A me comincia a ricordare le linee di trasmissione.
Chi ci si mette?

[Ianero]

Il metodo di considerare che la rete è infinita quindi la resistenza equivalente è la stessa dopo ogni blocco (se i blocchi sono infiniti) non mi è mai piaciuto tanto, perché bisognerebbe prima dimostrare che la successione converge.

Infatti è proprio quello che abbiamo fatto...

[PietroBaima]

Si, e convergeva...

[Ianero]

Non capisco.
Fa niente, se ci sono errori che non vedo mi scuso :)

[PietroBaima]

Nono, dicevo solo che non è scontato che converga.
In quel caso, con quei valori, converge, ma mi piacerebbe che qualcuno vedesse che non succede sempre.

[luigi_48]

La disquisizione di PietroBaima è, per me, troppo dotta. Confesso , nel leggerla, di avre capito poco.
A me interessava sapere se il modello dell'infinita serie di impedenze s=R+jwL ognuna con in parallelo una impedenza p=G+jwC, produca, matematicamente parlando, un risultato equivalente di una analoga serie di resistenze da 1 ohm con in parallelo una resistenza da 2 ohm.
Secondo me, sì: procuce un risultato equivalente. Ma non so come dimostrarlo.